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Übung: Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Aufgabenstellung

Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Der Punkt P befindet sich nicht auf der Geraden. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P zur Geraden g.

Schritt 1

Definieren Sie im CAS alle drei Punkte und die zugehörigen Ortsvektoren. Notieren Sie die Ortsvektoren auch im Heft.

Lösung für den ersten Schritt

Schritt 2

Jetzt definieren Sie einen Punkt R auf der Geraden durch die Punkte A und B ganz allgemein mit einem Parameter . Später werden Sie den Parameter so bestimmen, dass der Abstand zwischen dem Punkt R und dem Punkt P minimal ist. Das ist dann der Fall, wenn der Verbindungsvektor zwischen den Punkten R und P senkrecht zur Geraden ist. Jetzt schreiben Sie im CAS und im Heft erst einmal die Parameterform für den Ortsvektor des Punktes R auf der Geraden g auf.

Lösung für den zweiten Schritt

Schritt 3

Der Differenzvektor \vec{d}=\vec{p}-\vec{r} verbindet die beiden Punkte R und P. Wenn man den Betrag berechnet, dann errechnet man damit den Abstand der Punkte R und P. Definieren Sie im CAS den Differenzvektor

Lösung Schritt 3

Schritt 4

Der Abstand zwischen den Punkten R und P variiert, je nach dem Wert des Parameters . Der Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g ist der kürzeste mögliche Abstand zwischen R und P. Den hat man dann erreicht, wenn der Differenzvektor senkrecht zur Geraden g ist. Diese Bedingung kann man mithilfe des Skalarproduktes mathematisch formulieren. Schreiben Sie die Bedingung auf, dass der Differenzvektor senkrecht zur Geraden g sein soll. Lösen Sie die entstandene Gleichung nach

Lösung Schritt 4

Schritt 5

Den Wert, den Sie für errechnet haben, setzen Sie nun in den Differenzvektor ein und Sie berechnen den Betrag . Damit haben Sie den Abstand zwischen der Geraden und dem Punkt P berechnet.

Lösung Schritt 5

Die gesamte Lösung