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Teorema

Autore:angela.cipollini

Posizione reciproca tra retta e circonferenza

Date una circonferenza e una retta:
  1. se la distanza della retta dal centro della circonferenza è maggiore del raggio, la retta è esterna alla circonferenza
  2. se la distanza della retta dal centro della circonferenza è congruente al raggio, la retta è tangente alla circonferenza
  3. se la distanza della retta dal centro della circonferenza è minore del raggio, la retta è secante alla circonferenza
Indichiamo con O il centro della circonferenza, con s la retta e con OH la distanza della retta s da O. 1. Ipotesi: OH > r Tesi: s è esterna alla circonferenza Dimostrazione Prendendo un punto P qualsiasi sulla retta s, si forma un triangolo rettangolo OPH di cui OP è l'ipotenusa e OH è un cateto. Pertanto, OP > OH. Ma OH > r per ipotesi; quindi, OP > OH > r; cioè, OP > r per la proprietà transitiva. Questo significa che P è esterno alla circonferenza. Lo stesso discorso si può ripetere per ogni punto della retta s; quindi, la retta s è, non avendo punti in comune con la circonferenza, è esterna alla circonferenza. 2. Ipotesi: OH r Tesi: s è tangente alla circonferenza Dimostrazione Dato che OH r, H appartiene alla circonferenza. Ripetendo il ragionamento della dimostrazione della prima parte, un qualsiasi punto P della retta s, diverso da H, risulta esterno alla circonferenza, dato che OP è l'ipotenusa del triangolo rettangolo che si forma, mentre OH è un cateto. Pertanto, H è l'unico punto in comune tra la retta s e la circonferenza; quindi, s è tangente alla circonferenza. 3. Ipotesi: OH < r Tesi: s è secante alla circonferenza Dimostrazione Dato che OH < r, H è un punto interno alla circonferenza. Prendiamo un punto P su s, tale che PH r. Anche in questo caso, si forma un triangolo rettangolo, OPH. OP > PH dato che OP è l'ipotenusa e PH è un cateto del triangolo OPH PH r per costruzione Quindi, OP > r; cioè, P è un punto esterno alla circonferenza. Il segmento PH, allora, congiunge un punto interno alla circonferenza con un punto esterno e quindi, deve avere un unico punto in comune con la circonferenza (per l'assioma relativo alla circonferenza), U. Considerando il punto Q, simmetrico di P rispetto ad H, e ripetendo lo stesso ragionamento, abbiamo che anche il segmento QH deve intersecare la circonferenza in un unico punto V. Pertanto, la retta s incontra la circonferenza in due punti, U e V, e quindi, è secante la circonferenza.
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Teorema inverso

Se una retta è esterna a una circonferenza, la sua distanza dal centro deve essere maggiore del raggio. Si dimostra per esclusione. Infatti, la sua distanza non può essere minore del raggio, altrimenti la retta dovrebbe essere secante; la sua distanza non può essere congruente al raggio, altrimenti la retta dovrebbe essere tangente. Pertanto, si conclude che la la sua distanza dal centro deve essere maggiore del raggio.

Teorema "riassuntivo"

Data una circonferenza e una retta:
  1. la retta è esterna alla circonferenza se e solo se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio
  2. la retta è tangente alla circonferenza se e solo se la sua distanza dal centro è congruente al raggio
  3. la retta è interna alla circonferenza se e solo se la sua distanza dal centro è minore del raggio

Teorema: La tangente in un punto è perpendicolare al raggio

Se una retta è tangente alla circonferenza, essa è perpendicolare al raggio che ha un estremo nel punto di tangenza. La retta perpendicolare al raggio nel suo estremo sulla circonferenza è tangente alla circonferenza.

Dimostrazione

La dimostrazione deriva dal teorema riassuntivo, in quanto la distanza di una retta dal centro si riferisce alla perpendicolare. Se la retta è tangente al raggio nel punto di tangenza, la distanza è il raggio e quindi, il raggio è perpendicolare alla tangente. Se la retta passante per l'estremo di un raggio non fosse perpendicolare, la sua distanza dal centro sarebbe minore del raggio.
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