Puissance d'un point par rapport à un cercle
est un point du plan extérieur au cercle de rayon ;
et sont les points d'intersection d'une droite issue de et du cercle :
Le produit ne dépend que de la distance de au centre du cercle et est appelé puissance du point M par rapport au cercle.
Démonstration
et sont les points d'intersection d'une autre droite issue de et du cercle tels que et soient alignés dans le même ordre.
car ils interceptent le même arc de cercle.
car c'est le même angle si M est extérieur au cercle et sont opposés si M est intérieur au cercle.
Les triangles et sont donc similaires et donc :
Le produit ne dépend donc pas de la droite issue de et est un invariant dépendant uniquement de la position de .
En conséquence, si , et sont alignés avec nous avons :
- Si est intérieur au cercle :
- Si est extérieur au cercle :
Discussion
La puissance d'un point par rapport à un cercle ne dépend que de la distance de celui-ci au centre du cercle :
- Le point est à l'intérieur du cercle : sa puissance est négative
- Le point est sur le cercle : sa puissance est nulle
- Le point est à l'extérieur : sa puissance est positive et est égale au carré de la distance le séparant du point d'intersection du cercle et de sa tangente issue du point.