M1.II.9 L Ableitung als Tangentensteigung
Leitfrage zu Phase 9
Welche Gerade hat die gleiche Steigung wie der Graph im Punkt ?Tangente als Grenzlage der Sekanten
In dieser letzten Phase bringen die Schülerinnen und Schüler alle Erkenntnisse zusammen:
- Die Tangente an den Graphen im Punkt ist die Grenzlage der Sekanten durch und einen weiteren Punkt auf dem Graphen
- Die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt ist gleich der Steigung des Graphen in diesem Punkt
- Die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt ist die momentane Geschwindigkeit des Gepards zum Zeitpunkt
- Die Steigung der Tangente ist die momentane Änderungsrate, also die Ableitung in einem Punkt
Erkenntnisse anwenden
Im abschließenden digitalen Arbeitsblatt
M1.II.9 AB Momentane Geschwindigkeit im Graphen
wenden die SuS zusammenfassend die Erkenntnisse zunächst für die Weg(Zeit)-Funktion des Gepards an und üben anschließend mit weiteren Funktionen, deren Funktionsgleichung sie in das Eingabefeld des Applets
M1.II.9 App Graph Tangente eingeben.
M1.II.9 AB Momentane Geschwindigkeit im Graphen
wenden die SuS zusammenfassend die Erkenntnisse zunächst für die Weg(Zeit)-Funktion des Gepards an und üben anschließend mit weiteren Funktionen, deren Funktionsgleichung sie in das Eingabefeld des Applets
M1.II.9 App Graph Tangente eingeben.
Direkte Grenzwertberechnung
Spätestens bei der Berechnung der Sekantensteigung am Graphen tritt der Differenzenquotient erneut als die mittlere Änderungsrate auf.
Mit der vereinfachten Modellierung des Weg(Zeit)-Zusammenhangs beim Geparden (s. * M1.I.6 L Grenzwertbildung algebraisch) kann auch hier der Grenzwert z.B. an der Stelle algebraisch betrachtet werden:
Die weitere algebraische Umformung kann folgendermaßen erklärt werden:
Was stört uns an dem Ausdruck? - Der Nenner wird null, wenn wird.
Also versuchen wir den Nenner "loszuwerden". Idee: dritte binomische Formel im Zähler, so dass im Zähler und im Nenner der Term als Faktor vorhanden ist:
Im letzten Schritt ist es erneut wichtig zu betonen, dass sich der nur beliebig annähert, aber der Schritt nur zulässig ist solange gilt!
Mit dieser Vereinfachung kann ganz analog zur lokalen Änderungsrate der Grenzwert berechnet werden:
Formale Definition der Ableitung
Damit kann eine formale Definition der Ableitung an der Stelle sowie von Differenzierbarkeit angegeben werden:
[]
- Wenn sich der Differenzenquotient einer Funktion an der Stelle beliebig nah an einen Wert annähert, wenn x gegen strebt (), dann heißt dieser Wert Ableitung von an der Stelle .
- Man schreibt
[]Unterrichtsmaterial
Digitales Arbeitsblatt M1.II.9 AB Momentane Geschwindigkeit im Graphen
oder Applet M1.II.9 App Graph Tangente
M1.II.9 AB Momentane Geschwindigkeit im Graphen
oder Applet M1.II.9 App Graph TangenteZeitbedarf
1 h + Übungen
Übungen
- Weitere Funktionen mit dem Applet Graph Tangente untersuchen.
- Lambacher Schweizer 2022 S. 45/46 und Elemente der Mathematik 2017 S. 65/66
- Lambacher Schweizer 2022 S. 45/46 und Elemente der Mathematik 2017 S. 65/66
- Calimero Schülerband 9 1.2 Nr. 7
- o-mathe Kapitel Differentialrechnung 1. Ableitung 4. Ableitung an einer Stelle 2. Übungen - Ableitung an einer Stelle 1. Ableitung und Steigung in einem Punkt (Direktlink)