E 10 Pentagramma mirificum az E-modellen

Egyenlő oldalú ötszög az elliptikus síkon

Talán túlságosan is sokat foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy miként lehet egyenlő oldalú ötszögeket rajzolni az euklídeszi síkon, majd a gömbön. Így eljutottunk oda, hogy megrajzoltuk a gömbre Napier csodálatos ötszögét, amelynek az oldalai kvadrátnyi (derékszögnyi) szakaszok. Felfedezhettük a kapott konstrukció sok szép összefüggését, amelyek meggyőzhettek bennünket arról, hogy valóban indokolt a csodálatos jelző. Így most elegendő onnan indulnunk, hogy kvadrátnyi élhosszúságú, előbb általános, majd a szabályos (egyenlő oldalú és egyenlő szögű) ötszög tulajdonságait vizsgáljuk az E-modellen.

Szerkesszük meg ...

.... az E-modellen a kvadrátnyi szakaszokból álló egyenlő oldalú, - de nem feltétlenül egyenlő szögű - ötszöget. Ugyanazt az eljárást követjük, amelyet a gömbi modell esetében alkalmaztunk.
  • Felvesszük a tetszőlegesen mozgatható A pontot, ennek a polárisán mozgó B-t, majd az S pontot úgy, hogy az ABSΔ kvadrát háromszög legyen.
  • Felvesszük D-t, amely ugyancsak tetszőlegesen mozgatható.
  • Az ABCDE ötszög oldalai akkor lesznek egyenlők és derékszögűek, ha a szomszédos csúcsok illeszkednek egymás poláris egyenesére. Így C-t a B és D csúcsok polárisainak a metszéspontjaként, ugyanígy E-t, D és A polárisainak a metszéspontjaként kapjuk.
  • A szabályos csillagötszög szögei az E-modellen -épp úgy, mint a gömbi modellen - α≈51.87° -osak, ahol α az aranymetszés arányából határozható meg pontosan: cos(α)=(sqrt(5)-1)/2 .
  • Az α mértékű szakaszt felmértük A-ból az AS ill BS E-szakaszokra, majd ez így kapott V_A ill. V_B pontok polárisainak a metszéspontja az a T pont, amely D=T esetben a szabályos csillagötszöget állítja elő. D mozgását semmi nem korlátozza: a sík bármely D pontjához tartozik pontosan egy olyan egyenlő oldalú ötszög, amelynek az oldalai kvadrátnyiak. Ha az A vagy B pontot mozgatjuk, akkor D velük együtt mozog úgy, hogy az ABCDE "közel" szabályos csillagötszög legyen. Ha A-ra vagy B-re kattintunk, akkor pontosan szabályos lesz. Ekkor válnak láthatóvá válnak a szabályos csillagötszög szögei.
Innen már csak az ABCE egyenlő oldalú E-ötszögnek és duális alakzatának, a PQRTS egyenlő szögű ötszögnek a tanulmányozására - ha úgy tetszik - megcsodálására kell figyelnünk. Például gondoljunk arra, hogy egy kvadrátnyi szakasz két végpontjai és polárisa egy kvadrát háromszög csúcsai, így nem is olyan meglepő, hogy az ötszög csúcsainak a polárisai merőlegesek lesznek egymásra, sőt az ABCDE ötszög oldalaira is, függetlenül attól, hogy ABCDE szabályos-e, vagy sem.

P.s.:

           Itt és most abbahagyjuk az elliptikus geometria, általában a nem euklideszi geometriák bemutatását. E sorok írója az előző mondatban abban a reményben használta az abbahagyjuk szót a befejeztük helyett, hogy érdeklődő olvasói mindezt inkább gondolatébresztő bevezetésnek inspirációnak, mint lezárt ismeretanyagnak tekintik.