Demostración del seno de la suma
En este artículo vamos a demostrar muy detalladamente la fórmula del seno de la suma de ángulos:
![](https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/p3.png)
Nota previa
Consideremos la siguiente representación:
El radio de la circunferencia coincide con la hipotenusa del triángulo: R=h.
El seno, coseno y tangente del ángulo α se definen como
Por tanto, los lados a y b miden
Es decir, los lados son el coseno o el seno multiplicados por la hipotenusa del triángulo con ángulo α.
En la demostración utilizaremos estas igualdades con triángulos cuyas hipotenusas no medirán lo mismo.
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![](https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/p1.png)
![](https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/p2.png)
Demostración
Nos apoyaremos en la siguiente representación (donde R será 1 sin pérdida de generalidad):
Como el radio de la circunferencia es R=1, entonces
![](https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/T1.png)
- El segmento a es el seno ángulo α.
- El segmento b es el seno del ángulo β.
- El segmento X (segmento discontinuo) es el seno del ángulo α+β.
Trazamos el segmento mm paralelo al segmento a:
El ángulo δ que aparece mide δ=90∘−α. Esto se debe a que los dos otros ángulos del triángulo miden α y 90∘ y la suma de los tres ángulos debe ser 180∘:
δ=180∘−α−90∘
δ=90∘−α
Teniendo en cuenta la introducción, el lado mm del triángulo es
Nota: cos(β) multiplica al seno porque es la hipotenusa del triángulo.
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Prolongamos el segmento mm obteniendo el segmento p (el segmento mm no cambia):
Observando la figura,
Como queríamos demostrar.
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- El segmento X mide lo mismo que la suma de los lados m y p.
- El nuevo ángulo representado mide α porque junto con los ángulos 90∘ y 90∘−α debe sumar 180∘.
- Teniendo en cuenta la introducción, el lado p del triangulo superior es
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