329 Materialbedarf für einen quaderförmigen Behälter
Das Volumen eines oben offenen, quaderförmigen Behälters mit quadratischer Grundfläche soll V dm3 betragen. Die Länge der Grundkante a sowie die Höhe h des Behälters werden in Dezimeter angegeben. Die Funktion f beschreibt die Abhängigkeit des für den Boden und die vier Seitenwände benötigten Materialbedarfs M (in dm2) in Abhängigkeit von der Grundkantenlänge a (die Wandstärke des verwendeten Materials sowie Klebelaschen können vernachlässigt werden). Für einen bestimmten Wert V0 des Behälter-Volumens ergibt sich für f nachfolgende Funktionsgleichung: .
a) Bei gegebenem Volumen V des Behälters besteht zwischen den Seitenlängen a und h ein bestimmter Zusammenhang. Beschreibe die Abhängigkeit h(a) mit Hilfe einer Funktionsgleichung und skizziere die charakteristische Form des entsprechenden Funktionsgraphen. Bestimme V0.
b) Skizziere den Graphen der Funktion f mit , gib einen dem Kontext angemessenen Definitionsbereich an und interpretiere das „Grenzwertverhalten“ der Funktion f „am Rande des Definitionsbereiches“ kontextbezogen.
Ermittle anhand des Funktionsgraphen die Lösungsmenge der Gleichung f(a) = 7.
Interpretiere das Ergebnis kontextbezogen.
c) Im Zuge der Lösung einer Aufgabenstellung, die auf die Funktionsgleichung führt, ermittelt eine Person die Lösung a0 der Gleichung f´(a) = 0.
Gib a0 an und interpretiere den Wert im Kontext des Beispiels. Nimm diesbezüglich auch Bezug auf den Wert f´´(a0).
d) Ermittle, wie viele Werte für die Grundkantenlänge a in Frage kommen, sodass der zugehörige Materialverbrauch genau 10 dm2 beträgt. Erläutere für jeden möglichen Wert von a anhand des Vorzeichens des Wertes f´(a), wie sich eine (geringfügige) Vergrößerung der Grundkantenlänge über den jeweiligen Wert a hinaus auf den Materialverbrauch auswirken würde.