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Carré d'une somme contre somme des carrés

Il peut sembler naturel d'écrire pour une somme de deux nombres a et b l'égalité suivante : (a + b)² = a² + b² Pourtant, Batman lui-même ne semble pas être d'accord !
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Nos excuses pour la violence de cette scène (à ne pas reproduire à la maison, elle a été dessinée par des professionnels). Alors qui a raison ? Robin ou Batman ? Dans la figure interactive ci-dessous, on décompose le nombre 10 en somme de deux nombres entiers. Déplacer le point M pour visualiser les différentes décompositions possibles. Arrive-t-il que l'égalité proposée par Robin soit vraie ?
Batman a raison ! Lorsque l'on écrit a² + b², il manque quelque chose... Et ce quelque chose est visible sur la figure ci-dessus : il faudrait ajouter l'aire des deux rectangles gris pour obtenir un total de 100. Vérifier l'égalité de Batman :
(a + b)²  = a² + 2 ab + b² Vous avez sans doute démontré avec votre professeur que cette égalité est vraie pour n'importe quels nombres a et b (entiers ou pas, positifs ou négatifs). Et on ne la nomme pas "l'égalité de Batman" mais "la première identité remarquable" !