Középpontos hasonlósági transzformáció (26.)

Az Euklideszi geometriában...

bizonyítjuk, hogy a középpontos hasonlósági transzformáció (centrális nyújtás) egyenestartó, szögtartó és aránytartó tulajdonságokkal rendelkezik. A bizonyításokhoz általában a párhuzamos szelők tételét, annak speciális esetben igaz megfordítását és a párhuzamos szelőszakaszok tételét szoktuk használni. A párhuzamossági axióma szerepe itt nyilvánvaló. A fenti tulajdonságok következményeként újabb fogalmak és tételek kerülnek elő. Például: Tekintettel arra, hogy a fentebb említettek a párhuzamossági axióma következményei, indokoltnak tűnik, hogy megvizsgáljuk a középpontos hasonlósági transzformációt a másik két geometriában.

A hiperbolikus geometriában:

Az látható, hogy az e egyenes képe nem egyenes, azaz már az egyenestartás sem teljesül.

A gömbi geometriában:

Úgy tűnik, hogy az egyenestartás itt sem teljesül. Szilassi tanár úr szerint egy híres geométer mondta a következőt: ”Az euklideszi geometria egyetlen, legnagyobb, másutt nem használható, de a gyakorlatban nélkülözhetetlen fogalma a hasonlóság.” Most már érthejük, hogy miért mondta ezt.