Caída libre y lanzamiento vertical (problema)
Planteamiento del problema
Se deja caer una piedra desde una altura de 90 m. Simultáneamente, otra piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 40 m/s. Calcula:
a) Ecuaciones del movimiento
b) El tiempo que tardan en encontrarse
c) El espacio recorrido por cada piedra en el momento de encontrarse
d) La velocidad de cada piedra al llegar al suelo.
a) Ecuaciones del movimiento
Llamaremos Cuerpo 1 a la primera piedra (la que se deja caer) y Cuerpo 2 a la que es lanzada hacia arriba.
Podemos limitarnos a considerar lo que ocurre a lo largo del eje Y, para el que el suelo será el origen (y=0). Tomamos g=-9,8 m/s^2.
Las ecuaciones pedidas son:
Cuerpo 1:
Cuerpo 2:
Solución en Geogebra usando CAS
El siguiente applet muestra la solución a los apartados b, c y d utilizando las capacidades de la vista CAS de Geogebra.
b) Para averiguar el tiempo que tardan las piedras en encontrarse se resuelve la ecuación . el resultado son 2,25 segundos.
c) El espacio recorrido por la primera piedra en esos 2,25 segundos se obtiene sustituyendo en la expresión de (65,19 metros). Restando esa cantidad de los 90 metros iniciales obtenemos la distancia recorrida por la otra piedra (24,81 m).
d) Cuando las piedras llegan al suelo su coordenada y vale 0. Las ecuaciones e nos dan los tiempos en que eso ocurre (de los dos valores el que buscamos es obviamente el segundo en ambos casos). Sustituyendo esos valores de t en las expresiones de las velocidades obtenemos estas (-42 m/s para el cuerpo 1 y -40 para el cuerpo 2).
Solución CAS
Solución gráfica con Geogebra
En este applet el problema se ha resuelto utilizando exclusivamente las gráficas de , , y .
b) El tiempo que tardan las piedras en encontrarse es la primera coordenada del punto de corte de e , es decir, 2,25 segundos.
c) La segunda coordenada de dicho punto nos proporciona la posición de las piedras, de la que se deduce la distancia recorrida por cada una.
d) Hallamos en que instante corta al eje horizontal: t = 4,29 s. Allí la piedra alcanza el suelo. Dibujamos la recta vertical que pasa por ese punto, y donde corta a la curva tenemos la velocidad de la piedra 1 en ese instante. Lo mismo para la piedra 2.