J -Funktion
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (16.10. 2019, verbessert 09.11.) Kapitel: "Spezielle komplexe Funktionen"
Die Wirkung der Schalter erfolgt meist sehr verzögert! Die absolute Invariante von 4 verschiedenen Punkten - identisch mit der absoluten Invariante von elliptischen Differentialgleichungen des Typs - führt auf eine interessante konforme, also komplex-differenzierbare Funktion, die wir im Applet oben versuchen darzustellen. Die Lage von 4 Punkten in der GAUSSschen Zahlenebene ist - unter Berücksichtigung der Reihenfolge - eindeutig festgelegt durch ihr komplexes Doppelverhältnis . D.h.: Stimmen für 2 Punkte-Quadrupel die Doppelverhältnisse überein, so gibt es genau eine gleichsinnige Möbius-Transformation, welche die Punkte aufeinander abbildet - unter Beibehaltung der Reihenfolge! Bei Umsortieren der 4 Punkte treten als Doppelverhältnis folgende Werte auf: . Die absolute Invariante von 4 Punkten berechnet sich aus dem Doppelverhältnis: . 4 Punkte lassen sich nur dann durch eine Möbiustransformation auf 4 andere Punkte abbilden, wenn deren absolute Invarianten übereinstimmen! Siehe dazu das book-Kapitel "Lage von 4 Punkten". Zu 4 verschiedenen Punkten gibt es ein euklidisches KOS, in welchem die Punkte durch dargestellt werden; wir nennen dies: Darstellung in Normalform! Die 4 Punkte besitzen damit das Doppelverhältnis . (verbessert: 09.11.). Wir untersuchen das Doppelverhältnis und die Absolute Invariante als komplexe Funktion von . Die komplex-differenzierbare Funktion wird als Quotient zweier Polynome von ziemlich hoher Ordnung natürlich nur mit ziemlich großem Rechenaufwand darstellbar sein; daher ist im Applet oben vorgesehen, dass die Eigenschaften in Abhängigkeit von den Parametern nur schrittweise zu erkunden sind! Einige Eigenschaften von :- Die Funktion ist invariant unter der OKTAEDER-Gruppe: man betrachte die Symmetrie-Kreise! Die OKTAEDER-Gruppe besteht aus 24 Kreis-Spiegelungen und 24 gleichsinnigen Möbiustransformationen; ein Punkt besitzt in der Regel 47 Bilder! Für alle diese Punkte gilt: oder .
- Die Funktion bildet das Innere des Kreis-Dreiecks prs auf die obere Halbebene ab. Der Rand des Dreiecks wird abschnittsweise auf die reelle Achse abgebildet!
- Die Funktion beschreibt die Lage der 4 Punkte : ist reell und , so liegen die Punkte auf dem Einheitskreis oder den Achsen; also allgemein: ist die absolute Invariante eine nicht-negative reelle Zahl, so sind die 4 Punkte konzyklisch! Ist die Absolute Invariante negativ, so liegen die 4 Punkte spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen. Sonderfall : Die 4 Punkte sind möbiusgeometrisch die Ecken eines Tetraeders.
- Sonderfall : Sind die Punkte verschieden, so besitzen sie harmonische Lage! Sie sind sowohl konzyklisch, als auch liegen sie spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen!
