Baricentro

Autore:
gra genti

Baricentro

Le tre mediane di un triangolo si incontrano in un punto. Tale punto si chiama baricentro e divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell'altra.
IpotesiTesi
  • ABC è triangolo
  • AM=MC; BN=NC; AP=BP;
  • BM e AN si intersecano in G
  • CP e BM si intersecano in G1
  • G=G1
  • AG=2GN; BG=2GM; CG=2GP
Costruzione Disegnare un triangolo ABC; i punti medi M, N e P di AC, BC e AB; il punto G di intersezione tra BM e AN; i punti medi R e S di BG e AG.
Dimostrazione
  1. Il segmento MN congiunge i punti medi di due lati del triangolo ABC quindi MN // AB e AB=2MN;
  2. analogamente, nel triangolo ABG, RS//AB e AB=2RS;
  3. per la transitività della congruenza e del parallelismo MN//RS e MN=RS
  4. quindi MNRS, avendo due lati opposti congruenti e paralleli, è un parallelogrammo.
  5. poichè in un parallelogrammo le diagonali si intersecano nel loro punto medio allora GR=GM e GS= GN
  6. per la transitività della congruenza GR=GM=BR e GS= GN=AS ossia AG=2GN; BG=2GM.
  7. Ripetendo lo stesso ragionamento a partire dal segmento PM, si prova che CG1=2G1P; BG1=2G1M .
  8. Ma BG1=2G1M e BG=2GM significa che G= G1, da cui la tesi
c.v.d.