Matriz simétrica y antisimétrica

Autor:JLF

Definición de matriz simétrica y antisimétrica y sus propiedades.

Definición de matriz simétrica

Sea A una matriz cuadrada de dimensión mxm. Entonces, A es simétrica si igual a su matriz traspuesta:

Ejemplo de matriz simétrica de dimensión 3:

La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica.
La matriz adjunta de una matriz simétrica es también simétrica.
La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.
Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.
Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.
Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir, .

Una matriz cuadrada es antisimétrica si su traspuesta es igual a su opuesta:

Toda matriz cuadrada A cumple que A - A^T es antisimétrica.
Toda matriz cuadrada puede expresarse como suma de una matriz simétrica y de una antisimétrica.