Abschätzung für π nach oben und unten
- Autor:
- Alexander Thaller
Aufgabe
Versuche eine Erklärung zu finden warum zwischen den Zahlen 3 und 4 liegen muss!
Zur Hilfe kannst du die folgende Abbildung verwenden.
Antwort
Gib deine Erklärung in eigenen Worten an!
Herleitung der oberen Grenze 4 mit Hilfe der Analysis
Die obige Abbildung zeigt einen geometrischen Beweis, dass die Kreiszahl kleiner als 4 sein muss.
Es besteht aber auch die Möglichkeit, diese obere Grenze mit Mitteln der Analysis zu zeigen. Diese Herleitung wird im folgenden durchgeführt:
Die obere Hälfte des Einheitskreises ist der Graph der Funktion .
Die Länge der oberen Hälfte des Einheitskreises ist mit Verwendung der bekannten geometrischen Umfangsformel . Nun kann diese Länge aber auch mit Mitteln der Analysis berechnet werden. Für die Bogenlänge einer Funktion gilt die Formel
(1)
Bei unserem Halbkreis sind die Integrationsgrenzen und .
Für die erste Ableitung von gilt
In die Formel (1) eingesetzt folgt
(2)
Zur Abschätzung wird das Integral auf zwei Teilbereiche aufgeteilt:
(3)
Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner des Integranden führt auf
Für gilt und , siehe die folgende Abbildung. Daraus folgt .
Somit gilt für das erste Integral in (3) die Abschätzung .
Das letzte Integral kann aber auf elementare Weise berechnet werden. .
In äquivalenter Weise gilt für , dass und , auch dies ist in der folgenden Abbildung gut zu erkennen.
Daraus folgt wie oben . Es gilt somit für das zweite Integral in (3) die Abschätzung
Auch dieses Integral lässt sich einfach bestimmen.
Insgesamt können wir also sagen
.
Alternativer Beweis für die Länge des halben Einheitskreises
Dass die Länge des Halbkreises beträgt kann, anstatt die Umfangsformel des Kreises zu verwenden, auch unter Verwendung von (2) gezeigt werden.
Eine Stammfunktion von ist . Somit folgt für die Bogenlänge