E 04 Legyen adott az E-síkon ...

Ha olvasóink - egy időre - le is mondanak arról, hogy önálló vizsgálatokat segítő demonstrációkat készítsenek, feladatokat oldjanak meg az elliptikus geometriában, ahhoz mindenképpen ragaszkodjanak, hogy a GeoGebra appletek interaktív alkalmazásával alaposan megismerkedjenek az E-sík objektumainak a kölcsönös helyzetével, kapcsolataival megszokott és merőben új tulajdonságaival. Így hát legyen adott ...

... egy pont!

Ha csak egy pont adott a síkon, ahhoz a korábbi geometriai ismereteink birtokában nem sok hozzáfűzni való akad. Itt viszont van! Ha az egérrel megfogva "kivisszük" a modell alapkörén. nyomban "bejön" az ezzel átellenes pontban, és tovább mozgatható mindaddig, amíg el nem engedjük. A nyomvonal kapcsolóval furának tűnő pályát is tudunk vele rajzolni. Itt mutattuk be (2. app.) azt a fogást, amellyel ezt a "jelenség" előidézhető. Az elliptikus geometriában egy ponthoz egyértelműen hozzárendelhető egy E-egyenes, az adott pont polárisa. Mint hamarosan látni fogjuk, ez a pont→polárisa , egyenes→pólusa kapcsolat kölcsönösen egyértelmű. A kitakarás jelölőnégyzetet átkapcsolva látható, hogy a poláris alakzatként kapott E- egyenes - épp úgy mint a legtöbb alakzat - a GeoGebra rajzlapnak egy köre, bár jelen esetben a modellezett alakzat ennek csak az alapkörön belüli része. (Itt jegyezzük meg, hogy a GeoGebra appletnek a kezdő állapotát visszaállító jelét eltakarja az alapkörnek a modellen kívüli része, ezért ha használni akarjuk, előbb ki kell takarni.) Korábban láttuk (az app. 7 lépésénél), hogy egy E-pont és polárisa közötti kapcsolat a gömbi geometria pólus-poláris kapcsolatának az E síkra eső merőleges vetületeként áll elő. Ezt felhasználva látható be, hogy az A pont, polárisának az alapkör O középpontjához legközelebbi T pontja és a poláris egyenes alapkörre eső C pontja között az ACT∢ =45° kapcsolat áll fenn. Ha AO=t, akkor t-vel kifejezve vajon mekkora az OT szakasz? A kérdés megválaszolását a szép elemi geometriai feladatok iránt érdeklődő olvasóinkra bízzuk. Most azonban legyen adott ...

.. két pont!

Itt már lényegesen több újdonságra számíthatunk.
  • Két pontra egy és csak egy egyenes illeszkedik.
Ezt az egyenes könnyedén megrajzolható az E-modellen. A félgömb modellnél - és itt is - láttuk, hogy egy E-pontot a gömb középpontjára, majd a határvonal síkjára tükrözve az adott pont polárreciprokát kapjuk. Ez a pont az A és B pont esetében is "ott van" az E-egyenest modellező körvonalon, így az E-egyenes megadásához lényegében három pontra illeszkedő kört kellett szerkeszteni.

Az E-szakasz

Jóval összetettebb kérdés, hogy mit értsünk két ponttal megadott szakaszon?
  • Egy egyenes két pontját nem választja el egymástól egy harmadik pont; vagyis nem használhatjuk az euklideszi geometria elválasztási axiómáit.
Ehelyett be kell vezetnünk az elválasztó pontpár fogalmát:
  • Egy E-egyenesre illeszkedő négy pontból álló (A,B) és (C,D) két-két pontja elválasztó pontpárt alkot, ha pl. az A, B, C pontokat rögzítve D folytonos mozgásával csak úgy érhető el a D=C egybeeső állapot, ha előtte D=A vagy D=B előáll.
Ezt a nem túl egyszerű, de talán szemléletesen követhető mondatot tekintsék olvasóink az elliptikus geometria egyik elválasztási axiómáját körólíró, szemléltető kijelentésnek, ami nem definíció. Talán könnyebben érthető, ha arra gondolunk, hogy A, B, C és D egy kör négy különböző pontja. Ebben az is benne van, hogy maga az E-egyeses folytonos, véges hosszú, zárt "kör szerű" görbe.
  • Ha (A,B) és (C,D) elválasztó pontpár, akkor (A,C) és (B,D) nem elválasztó.
Minderre azért volt szükség, hogy belássuk: egy E-egyenesre illeszkedő A és B pont nem határoz meg egyértelműen egy E-szakaszt, pontosabban: kettőt határoz meg. Így az egyértelmű azonosításhoz meg kell adnunk az E-egyeresen A -tól és B-től különböző P pontot, amelyre hivatkozva azt mondhatjuk, hogy a szakasz megadása egyértelművé vált. Jelöljük ABP -vel azt a szakaszt, amelynek az A és B végpontoktól különböző pontjait nem választja el P -től az (A,B) pontpár, és AB¬P -vel, amelyeket elválasztja.

Az E-szakasz egyértelmű megadására

Lehetőségek az E-szakasz egyértelmű megadására.

Több lehetőség is kínálkozik arra, hogy az E-sík két pontja által meghatározott két szakasz közül egyértelműen választhassunk.
  1. A fentiek alapján kiválaszthatunk az (AB) E-egyenesen egy P pontot, és ezzel megadhatjuk azt a szakaszt, amelynek a belső pontjait nem választja el, ill. elválasztja A és B.
  2. Mint minden E-egyenes, (AB) is metszi a modell alapkörét, így a megkülönböztető pont lehet az így kapott két pont bármelyike. Az így kapott C pont mindaddig ugyanazt az E-szakaszt "mutatja", amíg A és B egyike " át nem ugrik" az alapkör vonalra kiérve. Ez a lehetőség azt a hamis látszatot keltheti, hogy a modell alapkörének kitüntetett szerepe van, miközben tudnunk kell, hogy az elliptikus sík épp úgy mindenütt homogén, mint ahogy az euklideszi és a hiperbolikus is az.
  3. Az elliptikus sík gömb- és félgömb-modelljénél láttuk, hogy az E-szakasz szögekkel mérhető, az E- egyenes mértéke 180°, így az A és B végpontú két E-szakasz mértéke kiegészítő szögpárt alkot. Így egyértelműen megjelölhető pl. az, amely kisebb, ill. nagyobb a derékszögnél. Ha mindkettő derékszög, akkor ezen az úton nem különböztethetők meg.
  4. Van lehetőség arra is, hogy megadjunk egy adott (AB) egyenesre illeszkedő, A kezdőpontú, adott hosszúságú (szögű) AH szakaszt.