Offenes - Unbeantwortetes - Ungelöstes
Diese Aktivität ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (Januar 2022)
Eine wesentliche Motivation für dieses book ist die wohl weiterhin unbeantwortete Frage von W. Blaschke (1938) nach allen Sechseck-Netzen aus Kreisen (2022). Die Teilfrage nach allen Sechseck-Netzen aus Kreisbüscheln haben wir 1983 beantwortet. In dem hier vorliegenden geogebra-book sind alle diese Netze aufgeführt und angezeigt. Der Nachweis (1983), dass es keine weiteren Sechseck-Netze aus Kreisbüscheln gibt, ist allerdings nur schwer nachvollziehbar. Kreisbüschel lassen sich unseren Erachtens am einfachsten in der Darstellung der Möbiusebene im komplexen Geradenraum untersuchen. Rechnerisch liegt eine algebraische Gleichung für das Vorliegen eines Sechseck-Netzes aus den Kreisen von 3 Kreisbüscheln vor. Eine einfache und geometrisch nachvollziehbare Bedingung für solche Sechseck-Netze ist uns leider (noch ?) nicht bekannt. Auf die allgemeine Frage von W. Blaschke gibt es einige Teilantworten: W. Wunderlich stellte dar (1938), dass 3 wesentlich verschiedene Scharen von doppelt-berührenden Kreisen einer bizirkularen Quartik ein Sechseck-Netz bilden. Beispiele hierfür liefern auch die Mittelpunktskegelschnitte und ihre Möbiustransformierten. Im Raum 3D wird die Frage durch die Charakterisierung der Kreise auf Darboux Cycliden beantwortet. Ausnahme: Kreise auf der Riemannschen Zahlenkugel oder Kreise in einer Ebene. Einige neue Sechseck-Netze aus Kreisen, welche in keines der bisher bekannten Muster passen, deuten auf die Kniffligkeit des Problems hin! Konfokale bizirkulare Quartiken sind Lösungskurven von elliptischen Differentialgleichungen des Typs- mit ,
- Spiegelt man einen der Brennpunkte einer bizirkularen Quartik an den Kreisen einer Schar doppelt-berührender Kreise, so liegen die Spiegelbilder auf einem Kreis: dem zugehörigen Leitkreis.