Do Cubo à Esfera
Considerando o paramétro obtemos uma aplicação contínua e bijectiva que tranforma o cubo de aresta $2a$ numa esfera de raio $\sqrt(3a²)$.
Altere o valor de $a$ para alterar o valor da aresta do cubo e o valor de $v$ para ver o objeto passar de um cubo a uma esfera.
José Manuel Dos Santos Dos Santos © Setembro,2018
Do cubo a esfera - Passos da construção
Seja, 2a, o valor da aresta do cubo, representada por um seletor. O raio da esfera one o cubo está inscrito é r=sqrt(3a²).
Vamos fixar os pontos A (a, a, a) e B (a, -a, a) como dois pontos que definem uma aresta do cubo centrado na origem do referencial, seja o segmento AB designado por s_a=SegmentodeReta(A, B).
A_1=Reflexão(A, xOy)
B_1=Reflexão(B, xOy)
A_2=Reflexão(A, (0, 0, 0))
B_2=Reflexão(B, (0, 0, 0))
B_3=Reflexão(B_1, (0, 0, 0))
A_3=Reflexão(A_1, (0, 0, 0))
Dada uma aresta do cubo a sua projecção na esfera será uma curva c_a.
Seja v um seletor que varia entre 0 e 1. Quando v tomar o valor 0 teremos que c_a representará o segmento de reta AB, quando v=1 c_a representará a projecção na esfera de [AB].
A curva c_a será dada pela :
c_a=Curva(a (1 - v + v r / sqrt(s² + a² + a²)), s (1 - v + v r / sqrt(s² + a² + a²)), a (1 - v + v r / sqrt(s² + a² + a²)), s, -a, a).
Usando as simetrias do cubo poderemos obter as outras curvas:
c_{a1}=Rotação(c_a, pi/2, EixoOx)
c_{a2}=Rotação(c_a, pi, EixoOx)
c_{a3}=Rotação(c_a,3 pi/2, EixoOx)
c_{a4}=Rotação(c_a,pi/2, EixoOz)
c_{a5}=Rotação(c_a,pi, EixoOz)
c_{a6}=Rotação(c_a,3 pi/2, EixoOz)
c_{a7}=Rotação(c_{a1},pi, EixoOz)
c_{a8}=Rotação(c_{a1},3 pi/2, EixoOz)
c_{a10}=Rotação(c_{a2},pi/2, EixoOz)
c_{a11}=Rotação(c_{a2},pi, EixoOz)
c_{a12}=Rotação(c_{a2},3 pi/2, EixoOz)
Consideremos então f, a superfície cujos "lados" são as curvas c_{a}, c_{a1}, c_{a2} e c_{a3}. A parametrização de f dada por:
f=SuperfícieLateral(a (1 - v + v r / sqrt(s² + t² + a²)), s (1 - v + v r / sqrt(s² + t² + a²)), t (1 - v + v r / sqrt(s² + t² + a²)), s, -a, a, t, -a, a)
é tal que se v=0, f corresponde a face do cubo, se v=1 corresponde a tile da pavimentação monoédrica da esfera por seis quadriláteros esféricos.
Aplicando a f as simetrias do cubo obtemos o pretendido.
f_1=Rotação(f, pi/2, EixoOz)
f_2=Rotação(f, pi, EixoOz)
f_3=Rotação(f, 3 pi/2, EixoOz)
f_4=Rotação(f, π / 2, EixoOy)
f_5=Rotação(f, 3π / 2, EixoOy)