Construcció i demostració: Punts de Fermat dins un quadriàter.
CONSTRUCCIÓ:
- Es tracen dos triangles equilàters en costats oposats del quadrilàter.
- Es tracen les circumferències que circumscriuen ambdós triangles.
- Es traça el segment que uneix els dos nous vèrtexs definits pels triangles.
- La intersecció d'aquest segment i les dues circumferències defineixen els punts de Fermat.
- Definint dos punts qualssevol dins el quadrilàter tracem els segments blau, verd, vermell, groc i lila.
- Fem un gir dels segments blau i vermell de 60º respecte el vèrtex del quadrilàter que també és extrem del segment blau.
- Idem amb els segments verd i lila.
- Formem els triangles equilàters blau i verd.
- Es pot comprovar que la suma de tots cinc segments coincideix amb la longitud de la poligonal que va del punt V1 al punt V2. Així doncs la mínima longitud d'aquesta serà pel segment recte que les uneix.
- Si movem els punts blaus de manera que la poligonal se sobreposi a la recta negra (que defineix la mínima distància), deduïm que els angles vermells, pel fet de ser suplementaris a una angle d'un triangle equilàter, han de ser de 120º. Aquests, però, coincideixen amb els grocs pel gir aplicat en el punt 2. d'aquesta demostració.
- Essent aquests angles de 120º, els punts de Fermat hauran d'estar sobre les circumferències que inscriuen els triangles, doncs aquestes defineixen l'arc capaç de 120º sobre el segment del quadrilàter.
La bisectriu d'un angle definit per un arc capaç:
En la següent figura tenim definit un arc capaç d'un angle (indicat en verd).
S'ha traçat la bisectriu
Demostrem per què:
Considerem el punt central de l'arc oposat a l'arc capaç (punt negre).
Els dos angles vermells han de ser iguals, doncs estan damunt un mateix arc capaç definit pel segment vermell. De forma equivalent han de ser iguals els angles verds.
Però els angles vermell i verd també han de ser iguals pel fet de ser els dos angles del costat desigual d'un triangle isòsceles. Per tant la recta del punt blau al punt negre ha de ser la bisectriu de l'angle definit pel punt de l'arc capaç.
Això ens permet demostrar que tots els angles al voltant dels punts de Fermat han de ser de 120º:
Recuperem el primer applet. Els punts dels triangles equilàters són precisament els punts centrals de l'arc capaç oposat al de 120º. Per tant el segment que els uneix en serà la bisectriu. Això comporta que els altres dos angles han de ser iguals i, per tant, seran també de 120º.