Teorema de Reim o de los 2 círculos

Se tienen dos circunferencias σ y τ secantes en M y N. Un segmento que pasa por el punto de intersección de dos círculos y tiene un extremo en cada uno de ellos se conoce en francés como monienne, que podríamos traducir por bicuerda. El Teorema de Reim establece que si AB y CD son dos bicuerdas por M y N, los segmentos AC y BD son paralelos. Anton Reim (Bohemia, 1832-1922)
Pueden desplazarse los puntos A y C. ¿Qué ocurre si los puntos A y C, o B y D, se cruzan? ¿AC y BD siguen siendo paralelos? ¿Qué debe modificarse en la demostración?