Introduction
Les rapports trigonométriques ont une importance considérable en mathématiques et dans de nombreuses applications de celles-ci, en premier lieu la physique.
Pour comprendre leur « signification » et pourquoi ils ont été introduits, imaginons la situation simple correspondant à un déplacement rectiligne le long d’une droite inclinée faisant un certain angle avec l’horizontale.
Les rapports trigonométriques permettent de répondre aux questions suivantes :
- Connaissant mon déplacement réel le long de ma ligne, quel est la longueur de mon déplacement horizontal ?
- Connaissant mon déplacement réel le long de ma ligne, de quelle hauteur suis-je monté ou descendu ?
- Connaissant la longueur de mon déplacement horizontal, de quelle hauteur suis-je monté ou descendu ?
L’idée de base de la trigonométrie repose sur la proportionnalité des longueurs des triangles semblables.
La hauteur d’un déplacement se mesure perpendiculairement à l’horizontale. Les triangles que nous aurons à considérer sont donc des triangles rectangles. Cela est très pratique car si l’on connait les longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle, on peut calculer celle du troisième à l’aide du théorème de Pythagore.
Pour réaliser des calculs avec des angles nous nous placerons toujours dans des configurations composés de triangles rectangle, c’est la configuration de base de la trigonométrie.
Si je connais les longueurs d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure l’unité, je pourrais calculer les longueurs des côtés de n’importe quel triangle rectangle semblable.
Ainsi, si nous considérons l’angle que fait la direction de déplacement avec l’horizontale, le rapport de proportionnalité qui permet de passer de :
- la longueur parcourue à la longueur du déplacement horizontal est le cosinus de l’angle ;
- la longueur parcourue à la hauteur dont je suis monté ou descendu est le sinus de l’angle ;
- la longueur du déplacement horizontal à la hauteur dont je suis monté ou descendu est la tangente de l’angle.