Le equazioni
In questo capitolo arriveremo a scrivere le equazioni che descrivono la trasformazione del punto P mediante omotetia di centro C e rapporto k.
Per far questo introduciamo nel piano un sistema di coordinate cartesiane xOy.
Un caso semplice
Per capire meglio come arrivare alle equazioni generali, affrontiamo prima di tutto il caso in cui il centro C dell'omotetia coincida con l'origine O degli assi cartesiani.
Per definizione, come abbiamo visto ad inizio sezione, la condizione che P' sia il trasformato di P tramite omotetia di centro O e rapporto k si esprime con la relazione:
Proiettando P e P' sull'asse x e chiamate H e H' le proiezioni, è facile notare che i triangoli OPH e OPH' siano simili.
Questo vuol dire che anche le altre coppie di lati oltre ad OP e OP' mantengono lo stesso rapporto, cioè valgono le relazioni: Ora, se chiamiamo P=(x,y) e P'=(x',y'), si possono riscrivere le precedenti relazioni come: Dunque si può ricavare il sistema che descrive la trasformazione del generico punto P di coordinate (x,y) tramite omotetia di centro O e rapporto k:
Caso generale
Per trovare le equazione della generica omotetia di centro C e rapporto k la strategia è quella di comporre l'omotetia di centro nell'origine e rapporto k, che abbiamo appena studiato, con una traslazione in C.
Se chiamiamo le coordinate del punto C nel sistema xOy, la traslazione di vettore OC avrà equazioni:
Componendo dunque le due trasformazioni con un po' di manipolazione algebrica si giunge alle equazioni:
Osserva: se k=1 la trasformazione risulta essere l'identità, perché lascia invariate le due coordinate del punto.
Ora tocca a te!
Usando le equazioni appena trovate, cerca di capire cosa succede quando il rapporto dell'omotetia è uguale a 0 e spiegalo con parole tue.