メジャースケール上の和音
このワークシートはMath by Codeの一部です。
アプレット、背景、実装の順に見ていきましょう。
１．背景
音楽の背景は数学というよりも、
算数でたいていのことは十分わかります。
ただし、自然数すら０スタートで数える数学とはちがって、
1個目が１という素朴な数え方なので、かえって違和感があるかもしれません。
肩の力をぬいて、気楽に調べましょう。
＜白鍵だけで長調と短調ができる＞
音と音の間隔の基本は全音と半音です。
楽器の鍵盤を用意します。キーボードアプリでも、写真でもなんでもいいです。
白鍵が下にあり、黒鍵が挟まるところと白鍵が続くところがあります。
白鍵がとなりあう方がレアですね。
白鍵と白鍵の間に１つ黒鍵が入る音程（音の隔たり、インターバル）を全音、隣り合う鍵盤の音程を半音
といいました。
主音（スタート）を１として「ド」（C）から
白鍵だけを１、２、３、４、５、６、７、８と数えます。
これをドレミファソラシド (ハニホヘトイロハ＝C,D,E,F,G,A,B,C）と呼びますね。
この音の階段、音階（スケール）をメジャー（長調）といいました。
だから、このドレミファソラシドの音階はハ長調（Cメジャー）スケールと言えますね。
だから、黒鍵のありを２、なしを１とすると、２２１２２２１の音程ですから、全全半全全全半です。
主音（スタート）を１として「ラ」（A）から
白鍵だけを１，２，３，４，５，６，７，８と数えます。
これをラシドレミファソラ（イロハニホヘト＝ABCDEFGA）と呼びますね。
この音のスケールをマイナー(短調）といいました。
だから、このラシドレミファソラの音階をイ短調（Aマイナー）スケールと言えますね。
黒鍵のありなしで２１２２１２２２で、全半全全半全全全になっています。
数字だけ見ると、とても不規則で嫌な感じがする人もいるでしょう。
たとえば、ヤマハのPSS-A50は１周期12鍵盤×３＋１＝37鍵盤あります。
鍵盤の最低の音ド（C2）から、最高の音ド（C5)まであります。
番号が12増えると音程が１オクターブ上がり、音名は変わらないですね。
＜白鍵だけでスケールが増やせる＞
白鍵だけひくときに、Cを１にするとメジャー、Aを１にするとマイナーでした。
では、他の白鍵をスタートの１にすると音程と音階はどうなるでしょう。
実は大昔からわかっていて、教会モードという音階名まで１つ１つついています。
C＝１はイオニアン（メジャー）全全半全 全全半
D＝１はドリアン 全半全全 全半全
E ＝１はフリジアン 半全全全 半全全
F ＝１はリディアン 全全全半 全全半
G＝１はミクソ・リディアン 全全半全 全半全
A＝１はエオリアン 全半全全 半全全
B＝１はロクリアン 半全全半 全全全
名前の由来と使い方とかは今は、気にしないことにします。
音程を「ただの文字列」として観察してみましょう。
質問：７つの教会モードのスケールの共通点とちがいを探ろう。
音階の1個目の白鍵を、ただ、C,D,E,F,G,A,Bと１つ右にずらしていっただけでした。
だから、音程の全全半全全全半も１こずつ進んでいますね。
「全全半全全全半」を文字列としてみると、始まりが違うだけで、並びの周期は同じです。
さらに、面白いのは、最初の4文字はB＝１のロクリアンを除いて、全3個と半１個があります。
だから、１番と５番の音程は全×３＋半で共通になっています。これを完全５度といいます。
完全５度はすごいですね。
CならG、DならA、EならB、
FならC、GならD、AならE
これらはほぼほぼどんなスケールでも綺麗に聞こえるということです。
完全５度は、また、和音（コード）を時間とともにつないでいく、コード進行の上でも大切です。
キーボードでいうと、白黒が交互に並ぶのに1つだけ白白をはさむ5番目です。
（ロクリアンモードだけは半全全半だから、１つの全が半になっていて音程が短いね。
だから、このレアな５度を減５度（-５）といいます。）
＜他の完全は？＞
完全５度が１つの例外を除いて、普遍的にみられることがわかりました。
では、他の完全な音程を探してみましょう。
あります。
１番から8番までいくと、かならず１オクターブ上がるので完全８度という名前がついています。
当たりまえでつまらないです。
あります。
1番から４番までいくと、全全半、全半全、半全全のどれかになる。（例外はリディアンの全全全）
この全＋全＋半のことを、完全4度といます。
キーボードでは白鍵の４番目までに白白が１つはさむ音程です。
CならF、DならG、EならA、
GならC、AならD、BならE
完全４度の音を選ぶと、綺麗に聞こえるということですね。
また、完全４度は、コード進行でも大切です。
＜ダイアトニック３和音＞
２，３，４をとばして、白鍵の１番と５番を同時に押してみます。
完全5度を重ねておけば、メジャーもマナー区別のない２和音ができます。
では3度を重なるとどうなるでしょうか。
２、４を飛ばして、白鍵の１番と３番と5番を同時に押してみます。
C＝１はイオニアン（メジャー）全全半全全全半
D＝１はドリアン 全半全全全半全
E ＝１はフリジアン 半全全全半全全
F ＝１はリディアン 全全全半全全半
G＝１はミクソ・リディアン 全全半全全半全
A＝１はエオリアン 全半全全半全全
B＝１はロクリアン 半全全半全全全
半半というのはありえないので、全全か全半か半全です。
全全というのは長３度（メジャー3）、全半か半全が短３度（マイナー３）です。
１つとばしで、白鍵の奇数番号、１，３，５を同時に引いたのが３和音です。
C=1の１，３，５はC３、つまり、C
D=1の１，３，５はD－３、つまり、Dm
E=１の１，３，５はE－３、つまり、Em
F=１の１，３，５はF３、つまり、F
G=１の１，３，５はG３、つまり、G
A＝１の１，３，５はA－３、つまり、Am
B＝１の１，３，５はB－３・－５、つまり、Bm-5
この和音は、Cメジャースケールの音だけを使った和音なので、
特別な名前、ダイヤトニックスケールコードという名前がついてます。
もし、Cメジャースケール（C,D,E,F,G,A,B)ならコードは、
１，４，５番（度）のC,F,Gはメジャーです。
のこり、１，４番（度）の間D,Eと５、８番（度）の間A,Bはマイナーです。特に７番（度）は
m-7という独特に不安定な響きのコードになります。
ここで、絶対的にスケールの１に合わせた、度数で再表示してみましょう。
そして、７を超えた分は７をひき、小さい度数（番号）順に表示します。（つまり、疑似mod7）
１，３，５はC
２，４，６はDm
３，５，７はEm
１，４，６はF
２，５，７はG
１，３，６はAm
２，４，７はBm-5
ダイアトニックスケールコードは７つありますが、１つおきに見ると、
白鍵の番号が２つずれるだけなので、２音ずつ共通音があります。コード名を音の集合ととらえると、
積集合の要素が2個ということです。
C∩Em={3,5}
Dm∩F={4,6}
Em∩G={5,7}
F∩Am={1,6}
G∩Bm-5={2,7}
Am∩C={1,3}
Bm-5∩Dm={2,4}
Cから見るとEmとAmは2音共通なので類似度が高いですね。
Fから見るとDmとAmは近いです。
Gから見るとEmとBm-5は近いです。
＜ダイアトニック４和音＞
２，４，６を飛ばして、白鍵の１番と３番と5番と７番を同時に押してみます。
C＝１はイオニアン（メジャー）全全半全全全半
D＝１はドリアン 全半全全全半全
E ＝１はフリジアン 半全全全半全全
F ＝１はリディアン 全全全半全全半
G＝１はミクソ・リディアン 全全半全全半全
A＝１はエオリアン 全半全全半全全
B＝１はロクリアン 半全全半全全全
1番から７番までの音程は全５半１か全４半２のどちらかです。
半１というのは長７度（メジャー７）、半２が短７度（マイナー７）ですが、
マイナー７が普通なのでマイナーをつけずにただの７度といいます。
１つとばしで、白鍵の奇数番号、１，３，５を同時に引いたのが３和音です。
C=1の１，３，５、７はC３・７、つまり、Cmaj7
D=1の１，３，５、７はDー３・ー7、つまり、Dm7
E=１の１，３，５、７はEー3・ー7、つまり、Em7
F=１の１，３，５、７はF３・７、つまり、Fmaj7
G=１の１，３，５、７はG３・ー７、つまり、G7
A＝１の１，３，５、７はA－３・－７、Am7
B＝１の１，３，５、７はB－３・－５・－７、つまり、Bm7-5
ここで、絶対的にスケールの１に合わせた、度数で再表示してみましょう。
そして、７を超えた分は７をひき、小さい度数（番号）順に表示します。（つまり、疑似mod7）
１，３，５、７はCmaj7
１、２，４，６はDm７
２、３，５，７はEm７
１，３、４，６はFmaj7
２，４、５，７はG７
１，３，５、６はAm７
２，４，６、７はBm７-5
ダイアトニックスケールコードは７つありますが、１つおきに見ると、
白鍵の番号が２つずれるだけなので、３音ずつ共通音があります。
コード名を音の集合ととらえると、積集合の要素が３個ということです。
（例）Am7 ∩ C＝｛１，３，５｝
C=｛１，３，５｝（1番とする）からみてEm7（３番ｍ７）、Am7(６番ｍ７）が近いです。
F＝｛４，６，１｝（４番）からみてDm7（２番ｍ７）、Am７が近いです。
G＝｛２，５，７｝（５番）からみてEm7、Bm7-5（７番ｍ７－５）が近いです。
ただし、キーとなる1番目の和音をトニックといい、主たる響きになります。
だから、１つおきの類似性という視点から見たら、１つおきに代理コードとして使えそうですが、
瞬間瞬間の響きの共通点だけではなく、通したときの視点からみると、トニックの代理が最優先になります。
１番の代理は３ｍ７、６ｍ７の2個 覚え方１±２＝３ｍ、－１ｍ≡３ｍ７、６ｍ７
４番の代理は２ｍ７の1個 覚え方４－２＝２ｍ
５番の代理は７ｍ7-5の1個 覚え方５＋２＝７ｍ７－５
が標準的な考え方になるようです。
＜楽器演奏の場面では＞
たとえば、ピアノでは、左手でベース音（コードの１の音）を鳴らしたり、
合奏では、ベース担当の人がいたりします。
だから、セブンスの音を出すときは、
・ベース音を半音下げたのがmaj7
・ベース音を全音下げたのが７
という解釈をすることが多いです。それは、ギター演奏でもそうです。
ベースランニングという奏法まであるくらいです。
そもそも、ベース音とセブンス音は順に押さえると開きすきて大変。
オクターブを上げ下げすると、ベースとセブンスは音が近くて衝突しやすい。
だから、ベースをぬいてしまうのですね。
２、実装
質問：12個の主音に対するメジャースケール上の７つのコードを表示するアプレットを作るにはどうしたらよいでしょう。
クロマチック音名を文字列にします。
NameS={"B","C","C#","D","D#","E","F","F#","G","G#","A","A#"} //音名の#系です。
C4={"maj7","m7","m7","maj7","7","m7","m7-5"} //4和音
C3={"","m","m","","","m","m-5"} //3和音
名前リストを２オクターブ分とります。
NS2=join(NameS,NameS)
インデックスはgeogebraなら１から24番になります。
たとえば、Bを主音にしたときにメジャースケールのインデックスは
M={１，３，５、６、８，１０，１２}ですから、
ｋ＝NameS2(n）を主音にするメジャースケールのドレミファソラシド名は
doremi=sequence(NS2(k-1+M(i)), i, 1,7)
doremi+C3で３和音、
doremi+C4で４和音の和音名になります。
キーを選ぶスライダーをｎ（１以上12以下）とすると、
選んだキーはNameS(n)のテキストになります。
（コードやキーの名前を♭にした表示も考えましたが、内部バグらしく、表示がちがってました。）
このアプレットは、キーを指定すると、
そのキーのスケールでの和音名が出るのは便利ですが、コードの音程の理由は確認できません。
質問：スケールの音程とコードの音程が視覚化できるアプレットはどうやって作りますか？
12種類の音名があるので、12角形の点にします。
たとえば、e^(i 2π/k) k=1...12として、12個の複素数ｚ１からｚ１２を設定しましょう。
12音名のリストNameS={"B", "C",......., "A#"}にたいして、
NameS(1), NameS(2),....,NameS(12)を１つ１つのテキストオブジェクトとして、
txt1, txt2,.....txt12と名前をつけなおします。
そうして、それぞれのテキストオブジェクトtxt kの「設定」の「位置」のリストから対応するｚk
を選ぶべば、12個の頂点に、音名を表示できるようになるでしょう。
1つ１つの複素数の他に、複素数のリストpt=sequence(e^(i 2π/k), k, 1, 12)を設定しておけば、
pt(x)のｘを適当に選ぶことで、スケールに関係のある点を強調できます。
（そして、選ばれた番号の頂点ｋに対して、mod（ｋ－１,12）+1をすることで、１２のときに１２にする
変則mod12を作ることで、ｋの変化に対して、１，２、…、１２、１，２、…。１２と返します。）
選ばれたスケールの番号M={１，３，５、６、８，１０，１２}
キーをn=2としたばあい、M＋n-1={2, 4, 6, 7, 9,11,13}と、リストをシフトして、MNという名前をつけます。そして、Sequence(Mod(MN(k)-1, 12)+1,k,1,7)とすると、12をこえたら12けずれます。
それをMN2とすると＝{ 2, 4, 6, 7, 9,11,1}となり、複素数の番号をはずしてた分を、12個に納めます。
ここで、zip(pt(k),k,MN2)とするとMN2番目の頂点、つまりキーが２のスケール音名を強調できますね。
最後に和音がサイクリックな音名の関係、つまり円環構造なので、
スケール上の３和音、４和音の点を多角形の頂点として選びだしましょう。
3和音ならば、その和音がキーのi 番目なら、Cp3＝｛MN2(i),MN2(i+2),MN2(i+4)｝と番号リストを作ります。すると、12等分の点からpolygon(pt(Cp3(1)),pt(Cp3(2)),pt(Cp3(3)))
とするだけで三角形が指定できます。
４和音場合は、スケール上の位置MN2で、さらに偶数番増やせばよいですね。
くわしくは、かくれた「数式」を広げて、グラフィックビューを一時的にせまくして、観察しましょう。