Pont konjugáltja egy háromszögre vonatkozóan (2.)
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
- Témák:
- Körülírt kör, Tükrözés, Metsző egyenes, Háromszögek
A problémák:
Az ABC háromszög síkjában adott egy P pont.
A P a háromszög A-ra illeszkedő belső szögfelező egyenesére vonatkozó tükörképe .
A P a háromszög B-re illeszkedő belső szögfelező egyenesére vonatkozó tükörképe .
A P a háromszög C-re illeszkedő belső szögfelező egyenesére vonatkozó tükörképe .
Mi állítható a , pontokról?
Mi állítható az , , egyenesekről?
A sejtésekhez:
Sejtések:
- A vizsgált négy pont egy körre illeszkedik.
- A vizsgált három egyenes egy pontban metszi egymást, vagy párhuzamosak. (A metszéspontot nevezhetjük a P pont ABC háromszögre vonatkozó konjugáltjának.)
1. bizonyítás
Megjegyzés:
Tekintettel arra, hogy a fenti bizonyításban csak a tengelyes tükrözés távolságtartó tulajdonságát és a kör fogalmát használtuk, ez a tétel abszolút geometriai tétel, így a hiperbolikus és gömbi geometriában is igaz.
2. a) Mikor párhuzamosak? (speciális eset)
Sejtés
A P mozgatásával arra a sejtésre juthatunk, hogy ha a P illeszkedik a háromszög köré írt körre, akkor a vizsgált egyenesek párhuzamosak.
Bizonyítás a speciális esetre
Annak bizonyítása, hogy a harmadik egyenes is párhuzamos az első kettővel, az előzőekkel egyező módon történhet,
Milyen kapcsolat ismerhető fel a és az egyenesek között?
Kaptuk, hogy a egyenes egyenesre vonatkozó tükörképe.
Most már visszatérhetünk a 2. sejtés bizonyítására.
A fentiek alapján a vizsgált egyenesek a P pont ABC háromszög oldalegyeneseire vonatkozó tükörképei által meghatározott szakaszok felező merőlegesei.
Ha a tükörképek háromszöget alkotnak, akkor a vizsgált egyenesek e háromszög köré írt körének középpontjában metszik egymást.
A tükörképek akkor nem határoznak meg háromszöget, ha a P az ABC háromszög köré írt körének pontja,
A 2. sejtés bizonyításkor igencsak használtunk euklideszi-geometriai fogalmakat (kerületi szögek, a háromszög belső szögek összege egyenesszög, ...), Ebből következően indokolt lehet, hogy mi veszi át a 2. tétel szerepét a nemeuklideszi geometriákban.
A hiperbolikus geometriában
(Az applet Dr, Szilassi Lajos tanár úrnak köszönhető.)
Azt láthatjuk,, hogy a vizsgált egyenesek vagy nem metszik egymást, vagy egy pontban metszik egymást.
A gömbi geometriában
Az látható, hogy a vizsgált egyenesek mindig egy pontban metszik egymást.
Egy további probléma:
Mi egy pont adott háromszögre vonatkozó konjugáltjának mértani helye, ha a pont végigfut az egyenesen?
Kísérletezzünk!
Úgy látszik, hogy a keresett mértani hely kúpszelet (ellipszis, hiperbola vagy parabola).
Aki kíváncsi a bizonyításra, itt megtalálhatja.
A hiperbolikus geometriában
A gömbi geometriában
Ezt a problémát 2017. novemberében Dr. Szilassi Lajos vetette/elevenítette fel. Az itt szereplő bizonyítások is az ő gondolatmenetein alapulnak.