Brennpunkte - Leitkreise
Diese Aktivität ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (Januar 2022)
Die folgende für bizirkulare Quartiken allgemein und nicht sehr präzise formulierte Aussage ist noch unbewiesen: es ist uns nicht gelungen, für diesen Sachverhalt einen geometrisch und algebraisch einleuchtenden und "einfachen" Nachweis zu führen. Für Hinweise, Ideen oder gar Beweise sind wir sehr offen und dankbar. Spiegelt man einen der Brennpunkte an den Kreisen einer Schar doppelt-berührender Kreise, so liegen die Spiegelbilder auf einem Kreis: dem zugehörigen Leitkreis. Umgekehrt kann man zu den Punkten auf einem Leitkreis die zugehörigen doppelt-berührenden Kreise und die Kurvenpunkte konstruieren. Zur Illustration der Aussage sind die Beispiele unten in Normalform angezeigt. Die Aussage ist jedoch für jede bizirkulare Quartik gültig: - der Sachverhalt ist invariant unter Möbiustransformationen - jede bizirkulare Quartik besitzt eine der angegebenen Normalformen. Unten besteht die Quartik aus dem Produkt zweier Kreise. Brennpunkte sind die Grundpunkte des zugehörigen Kreisbüschels: - elliptisch, wenn sie sich in 2 Punkten schneiden, - hyperbolisch, wenn sie sich nicht schneiden, - auch den parabolischen Fall (ein Berührpunkt) kann man näherungsweise erkunden. Es gibt für die beiden ersten Fälle 2 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen: spiegelt man den Grundpunkt an diesen Kreisen, so liegen die Spiegelbilder auf 2 Leitkreisen. Die Kreise der Quartik lassen sich bewegen! Die Spiegelung von an den doppelt-berührenden Kreisen wird für manche Fälle angedeutet.Die für bizirkulare Quartiken allgemein formulierte Aussage ist für Kegelschnitte vertraut und bewiesen:
Tangenten eines Kegelschnitts sind doppelt-berührende "Kreise": möbiusgeometrisch gehen die Tangenten
durch , dieser "Punkt" ist ein doppelt-zählender Brennpunkt und ein Kurvenpunkt.
Spiegelt man einen der Brennpunkte, zB. f, an den Tangenten,
- so liegen die Spiegelbilder auf der Leitgeraden (Fall Parabel),
- bzw. auf dem Leitkreis (Hyperbel oder Ellipse).
Konstruieren lassen sich die Tangenten aus Punkten auf dem "Leitkreis" als Mittelsenkrechte,
die Kurvenpunkte als Schnitt der Tangenten mit einem der Brennstrahlen.
Ellipsen und Hyperbel besitzen doppelt-berührende Kreise, symmetrisch zur Nebenachse.
Spiegelt man an diesen doppelt-berührenden Kreisen, so liegen die Spiegelbilder auf der zugehörigen Leitgeraden.
Mit den Punkten auf der Leitgeraden kann man die doppelt-berührenden Kreise und die Berührpunkte konstruieren.
1-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 2 orthogonale Symmetriekreise
und 2 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen.
2-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 4 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen.
Zu der Schar der -achsensymmetrischen doppelt-berührenden Kreisen gibt es keinen Leitkreis. Siehe die Bemerkung unten!
Die drei anderen Scharen besitzen zu einem vorgegebenen Brennpunkt (hier ) je einen zugehörigen Leitkreis,
für welche die angegebene Konstruktion durchführbar ist.
Von den Kreisprodukten und den 1-teiligen bizirkularen Quartiken abgesehen, besitzen bizirkulare Quartiken
jeweils eine Schar doppelt-berührender Kreise, die sich nicht mit der Leitkreis-Konstruktion erzeugen lassen:
- für die Parabeln sind es achsensymmetrischen doppelt-berührenden Kreise,
- für die Mittelpunktskegelschnitte und die 2-teiligen bizirkularen Quartiken sind es die zur -Achse
symmetrischen doppelt berührenden Kreise.
Für diese Kreisscharen gibt es eine andere Konstruktionsweise, für die wir aber ebenfalls keine Begründung angeben können.
Es wird jedoch ein enger Zusammenhang zum obigen Konsruktionsverfahren bestehen.
Links hierzu:
bicircular quartics 2-sheet
Leitlinien und Brennpunkte ellipse & hyperbel - konfokal
Parabel-LeitKreis
geogebra-book Kegelschnitt-Werkzeuge/Kapitel Kegelschnitte und Wellen