Mit Brüchen zum Ziel
Die Aufgabe verstehen
Wenn man die Aufgabe nicht geometrisch angehen will, bietet die Bruchrechnung eine mögliche Alternative. Dazu teilt man den Würfel zunächst so, dass er in 3 gleichgroße Quader zerlegt wird.
Dann hat jeder Quader ein Volumen von : - was natürlich der Bedingung widerspricht, dass die Kantenlängen ganzzahlig sein sollen.
Da nur ganzzahlige Kantenlängen zugelassen sind, zieht man von einem Quader ab und verteilt sie zunächst gleichmäßig auf die beiden anderen Quader.
Gleichmäßig heißt in diesem Fall, dass das Volumen von durch zwei geteilt werden muss.
Man erhält mit den Regeln der Bruchrechnung:
Diese Reste addiert man zu den beiden Quadern, also:
Damit erhält man: 300 cm3 + 350 cm3 + 350 cm3 = 1000 cm3.
Damit fängt aber das Problem erst richtig an spannend zu werden, denn 350 cm3 haben ja nicht zwangsläufige gerade Kantenzahlen. Also muss man sich erinnern, dass:
3,5*10*10, dasselbe Volumen beschreibtist, wie 7*5*10.
Damit kommt man dann auf den Schnitt senkrecht zur ersten Schnittebene, aber nicht auf den sprachlich kleinsten Größten, denn man hat ja immer noch zwei gleichgroße Quader. Hier hilft wieder die Wegnahme und Ergänzung: 50 und 100 kann man nicht wegnehmen, weil man dann wieder auf halbzahlige Kantenlängen stößt oder auf zwei gleichgroße Quader. Also 150 wegnehmen führt zu: 300 cm3 + 200 cm3 + 500 cm3 = 1000 cm3. Ich füge hier noch einmal das Applet aus Kapitel 1 an, und ermutige Sie, die Kantenlänge des Ursprungswürfel zu variieren. Sie können den Quader an Punkt B verändern und auf einem Gitterpunkt einrasten lassen. Welchen Einfluss haben die Schnittebenen auf die Volumengrößen? Welchen Einfluss haben die Fallunterscheidungen: i) a ist gerade, also 2n und ii) a ist ungerade, also 2n+1, wenn mit a die Kantenlänge des Würfels bezeichnet wird?