H 04 Normális(ok)
Régen ... és most
Itt volt szó arról, hogy a matematikában mit jelentenek a normális,, a transzverzális és a normáltranszverzális szavak. Arról is, hogy a számítógépes grafika elterjedése (létezése) előtt mekkora munka lehetett - e sorok írója számára az is volt - két egyenes normáltranszverzálisának a megszerkesztése.
Hát még az itt látható konstrukcióé, amely most egy pillanat alatt a szemünk elé tárul.
Azt látjuk, hogy van az ábrán tíz henger (matematikai szempontból egyenes), nincsenek közöttük párhuzamosok, mindegyik három másikat metsz, és az így kapott tizenöt metszéspontban derékszögek vannak. Szép konstrukció. Megérdemli az alapos elemzést.
A Petersen- Morley tétel
1898 -ban Julius Petersen dán és Frank Morley brit matematikus publikálta e munkalap alján is megjelenő cikket amely Petersen-Morley tétel néven vált ismertté a szép geometriai konstrukciókat kedvelő matematikusok körében. Bizonyára elégedetten szemlélték volna a munkájuk szinte kézzel fogható eredményét, a fenti rajzot.
Maga a tétel egy mondatban leírható:
- Ha egy térbeli derékszögű hatszög szemközti oldalai kitérők, akkor a hozzájuk tartozó normáltranszverzálisok normáltranszverzálisai egybeesnek.
- Legyen a1, b1, c1 három, egymáshoz páronként kitérő egyenes!
- Legyen a2, b2, c2 rendre a (b1,c1), (c1,a1), (a1,b1) egyenespár normáltranszverzálisa! Belátható, hogy ha 1. teljesül, akkor a2, b2, c2 ugyancska páronként kitérő. Ez a hat egyenes meghatároz egy térbeli derékszögű hatszöget, amelynek a szemközti oldalai rendre kitérők. (Itt azonos színűek.)
- Legyen a3, b3, c3 rendre a (b2,c2), (c2,a2), (a2,b2) egyenespár normáltranszverzálisa! (Ezek ugyancsak páronként kitérők. )
- Végül legyen d például a (b3,c3) egyenespár normáltranszverzálisa. Tapasztalhatjuk, hogy ez merőlegesen metszi az a3 egyenest is. Ezt bizonyította Petersen és Morley.
Hogy néz ki...
... mindez a GeoGebra eszköztárát kihasználva?
Murpy törvénye szerint "Egy program addig fejlődik, amíg meg nem haladja a készítője képességeit."
Nos, az alábbi applet ehhez közel áll, legalább is a sokféle megjelenítési lehetőség választhatósága miatt.
A P-M konstrukció rendre felépíthető a megfelelő jelölőnégyzetek bekapcsolásával, de az alattuk lévő csúszkával is.
Ha bekapcsoljuk a "belső hengerek" jelölőnégyzetet, egyszerre jelenik meg a tíz egyenes. A kész konstrukció alapján nem tudjuk megállapítani, hogy melyik volt az első három egyenes, amelyre a konstrukció felépül. Ezek az egyenesek egyenrangúak, épp úgy, mint azt itt a Desarques konstrukciónál (2. app.) is , vagy itt (1. és 3. app.) az ortocentrikus tetraédereknél tapasztalhattuk.
A ◀ és ▶ nyilakkal kiválasztható, hogy melyik legyen az az egyenes, amelyik a többi kilencből felépíthető.
A ▶ gomb false-ra állítja a tíz egyenes (a rajzon henger) láthatóságát. Célszerű a fenti leírás lépéseit követve először a1, b1, c1 , majd a2, b2, c2 , továbbá a3, b3, c3 , végül d láthatóságát bekapcsolni, de javasoljuk, hogy más sorrendet is próbáljanak ki az applet felhasználói.
A Petersen-Morley konstrukció
A konstrukció megadása (szerkesztése)
A konstrukció egyértelmű meghatározásához három, páronként kitérő általános helyzetű egyenest kell megadnunk.
Legyen például a1 a koordinátarendszer x tengelye, b1 az (xy) síkkal párhuzamos (de a1-el nem) amely metszi a z tengelyt c1 a koordinátarendszerhez is általános helyzetű, és az előzőekhet kitérő. Ezeket a B ,ill. a C1,és C2 pontok egyértelműen meghatározzák. Így három pont elegendő a konstrukció egyértelmű megadáshoz.
Ha valaki nem elégszik meg fentia GeoGebra applet látványával, hanem rászánja magát, hogy készít egy ilyen kézbe vehető konstrukciót, szüksége lesz az egy-egy egyenesre illeszkedő három pont távolságára. Ha letölti a fenti applet forrásfájlját, ezeket az adatokat meg is találja a program táblázatkezelőjében. Az alakzat méretét is be tudja állítani, sőt azt a távolságot is, amelyet a csatlakozás levesz a szakaszok hosszából. Jó munkát kívánunk hozzá.
A szerkesztés üzemmódban megjelenik még három gomb, amelyek kellően áttekinthetőnek gondolt kezdő adatokat állítanak be.
Tíz egyenrangú egyenes
Több helyen találkoztunk olyan geometriai konstrukcióval, amelyet valamilyen megadott alakzatból építettünk fel, és amelynek az elkészültét követően kiderült, hogy a kész konstrukció felépítéséhez más kezdő alakzatok is ugyanazt az eredményt adták volna.
Például, a sík ortocentrikus pontnégyese, a tér ortocentrikus pontötöse, a Desarques aklaztat (2. app.)
Ez jelen esetben is így van: a konstrukció bármely három, egymáshoz páronként kitérő egyeneséből kiindulva ugyanezt a alakzatot kapjuk eredményül. Az alábbiakban azt mutatjuk be, hogy miként épül fel (illetve le) a végeredményként kapott (sárga) egyenes, amely tíz közül bármelyik lehet.
