Hipérbola de Kiepert
La hipérbola de Kiepert de un triángulo ABC es una hipérbola equilátera que pasa por sus vértices, por el ortocentro, como todas las hipérbolas equiláteras circunscritas al triángulo, y además por el baricentro.
Si sobre los lados del triángulo ABC se construyen, hacia el interior o hacia el exterior, triángulos isósceles semejantes BCA', CAB' y ABC', las rectas AA', BB' y CC' concurren en un punto, aquí llamado Z. El lugar geométrico de este punto es la hipérbola de Kiepert. Si los ángulos iguales de los triángulos isosceles tienen una magnitud α, -90° ≤ α ≤ 90°, contadolo positivamente hacia el exterior, el punto Z es función de α. Para algunos valores particulares se obtienen distintos puntos notables del triángulo:
| α | Z(α) | A', B', C' | Notas |
| === | ===== | ======= | ===== |
| 0° | Baricentro | Puntos medios de a, b, c | |
| ± 30° | Puntos ext/int de Napoleón | Centros triángulos equilátero | A'B'C' equilátero |
| ± 45° | Puntos ext/int de Vecten | Centros de cuadrados | |
| ± 60° | Puntos de Fermat o Isogonales | Vérices de triángulos equiláteros | AA' = BB' = CC', ∠AZB = ∠BZC = ∠CZA = 120° |
| ± 90° | Ortocentro | Puntos impropios de AH, BH, CH | |
Puede animarse el valor de α con el control de la esquina inferuior izquierda.
Es bastante sencillo ver, utilizando complejos por ejemplo, que el baricentro de los triángulos A'B'C' coincide con G, el baricentro de ABC.