Egy sorozat első n tagjának összege
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
- Témák:
- Összeadás, Sorozatok és sorok
Adjuk meg a következő sorozat első n tagjának összegét!
Nézzük a következő táblázatot!
Adjuk össze a táblázat oszlopaiban szereplő számokat! Alkalmazzuk az első néhány pozitív egész számok összegéről tanultakat!
2. táblázat
Azt sejthetjük, hogy a 2. táblázat utolsó sorában szereplő összegek a vizsgált sorozatunk tagjai. Ennek igazolásaként elég két egymást követő tag különbségét vizsgálni.
.
A matematikában dörzsölt olvasó a 2. táblázat utolsó sorában felismerheti a háromszögszámokat. Az első n háromszögszám összegéről sok információ található az interneten. Most az eddigiekre alapozva mutatunk egy bizonyítást, ami a középiskolában tárgyalható.
Adjuk össze a táblázatunk soraiban szereplő számokat!
3. táblázat
Alkalmazzunk algebrai átalakításokat!
4. táblázat
És ismét.
5. táblázat
Adjuk össze az 5. táblázat utolsó oszlopának elemeit!
5. táblázat + bizonyítás
Felhasználtuk az első n négyzetszám összegéről tanultakat. Egy érdekes, szemléletes "bizonyítás".
A GeoGebra "kapásból"
Tóth Julianna tanárnő teljes indukciós megoldása
Ábrahám Gábor tanár úr megoldása
Dr. Németh Zoltán tanár úr megoldása
Tóth Julianna tanárnő 2. megoldása
S végül ...
Amint látható, több, többé kevésbé különböző megoldást sikerült összegyűjteni. Tanárként azon kell elgondolkodni, hogy mikor és milyen módon "tálaljuk" diákjainknak ezt a problémát.
- Kis gyerekeknél az összeadás gyakoroltatására (is) feladatul adhatjuk a sorozat tagjainak a számolását.
- A sorozat első néhány tagjának összegét is számolhatják az összeadni tudó gyerekek.
- A szorzással ismerkedő tanítványaink számolhatják az konkrét értékeit. (Esetleg lehet olyan gyerek aki felismerhet összegüggést a kapott értékek és a sorozat részletösszegei között.
- Az első n pozitív egész szám összegéről való tanulás után (Amit szintén elég kis korban lehet vizsgálni.) elkezdődhet a "táblázatos" tárgyalásmód előkészítése.
- Ezt az első n négyzetszám összegére vonatkozó képlet megismerése (Ami a két tagú összeg négyzetére és köbére vonatkozó azonosság után is lehetséges.) tetőzheti be.
- A teljes indukció megismerése a probléma magasabb szintű tárgyalását teszi lehetővé.
- De még a felsőoktatásban tanulók is találkozhatnak őket érdeklő ismeretekkel e problémával kapcsolatosan. (Dr. Németh Zoltán megoldása)
Dr. Waldhauser Tamás tanár úr általánosítása
Ábrahám Gábor - megoldás
Dobcsányi János - Tőle hallottam a problémáról.
Dr. Németh Zoltán - megoldás
Tóth Julianna - két megoldás
Dr. Waldhauser Tamás - általánosítás
Dr. Imreh Csanád