Equações vetorial e paramétricas da reta no espaço
A equação de uma reta deve permitir que as coordenadas de qualquer um de seus pontos sejam encontradas a partir das coordenadas dos elementos que a definem, elementos estes que podem ser dois de seus pontos ou então apenas um de seus pontos e sua direção (que em geral é fornecida por um vetor).
EQUAÇÃO VETORIAL
De todas as equações da reta no espaço, uma das mais simples de conceber é sua equação vetorial:
X = P + λv
Nela são fornecidos um ponto P pelo qual a reta deve passar e um vetor v que fornece a direção da mesma, denominado por isso de vetor diretor da reta. Logo, encontrar um ponto X qualquer da reta consiste em transportar o ponto P utilizando um múltiplo do vetor v. Por isso mesmo a equação vetorial da reta acaba nos levando até sua equação paramétrica, na qual o parâmetro é justamente o número real λ que multiplica o vetor v. Na construção abaixo é possível perceber como cada ponto X da reta pode ser obtido por meio da variação do parâmetro λ modificando o valor do controle deslizante. É possível também notar como a equação da reta se modifica quando arrastamos o ponto P ou o vetor v a partir de sua extremidade. Ao movimentarmos o ponto P a direção da reta não se altera, mas apenas sua posição no espaço. Por outro lado, ao alterarmos a direção de v alteramos a direção da reta, que permanece sempre paralela a v e nunca deixa de passar pelo ponto P.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Da equação vetorial da reta chega-se facilmente às equações paramétricas. Basta fazer X = (x, y, z), P = (x0, y0, z0) e v = (a, b, c) e realizar as devidas substituições na equação vetorial, obtendo
(x, y, z)= (x0, y0, z0) + (a, b, c) λ
Reescrevendo isso na forma de um sistema de equações ficamos com Estas são as equações paramétricas da reta, as quais têm este nome devido ao fato de serem as coordenadas do ponto X obtidas a partir do parâmetro λ.FAZENDO AS CONTAS
Clique no ícone de reiniciar a construção no canto superior direito do applet, substitua o valor de λ na equação que aparece abaixo do controle deslizante e verifique que, de fato, o valor obtido fornece as coordenadas do ponto X exibido na cor azul na janela de visualização 3D. Experimente modificar o valor de λ e observe que, ao substituir o novo valor na equação, isso continua sendo verdade.