Vierpas
- Auteur:
- Henk Hietbrink
- Onderwerp:
- Algebra
De gotische kathedraal van Burgos zit vol wiskundige details. De architecten, bouwmeesters en steenhouwers waren wiskundig onderlegd en dat kan je terug vinden als je weet waar je naar moet kijken. De auteurs van het boek "Teseros Matematicos de la Catedral de Burgos" nemen je mee op een wiskundige ontdekkingsreis door de kathedraal. Zo is bijvoorbeeld de vierpas een decoratief element dat bestaat uit vier even grote, elkaar overlappende cirkels, opgesloten in een vierhoek of vierkant. De engelse benaming is "quatrefoil" en dat betekent "vier bladen", van het Latijnse quattuor, "vier", en folium, "blad".
webpagina's:
- Wikipedia: Vierpas (Nederlandstalig)
- Wikipedia: Quatrefoil (Engels)
- Mijn verhaal op Instagram
Opdracht 0
Hieronder staat een foto van een vierpas. Zoek op internet naar meer voorbeelden.
Ook kun je bij jou in de buurt op zoek gaan naar een oude kerk met een vierpas.
![Afbeelding uit"[i]Teseros Matematicos de la Catedral de Burgos[/i]" (pagina 97)](https://stage.geogebra.org/resource/ydfqzhuy/mR4aRuVGDqzmixnz/material-ydfqzhuy.png)
Opdracht 1
Je gaat in deze opdracht beginnen met een meer eenvoudige variant. Hieronder zie je vier cirkels in een vierkant. De cirkels zijn even groot en raken elkaar. Iedere zijde van het vierkant raakt twee cirkels.
Stel dat de straal van de cirkels 3 is. Leg uit dat de omtrek van het vierkant 48 is en dat de oppervlakte ook 144 is.
Opdracht 2
Om het vierkant wordt een tweede vierkant getekend. De zijden van het buitenste vierkant staan loodrecht op de diagonalen van het binnenste vierkant.
Toon aan dat het oppervlak van het buitenste vierkant twee keer zo groot is als het oppervlak van het binnenste vierkant.
Opdracht 3
In de vorige opdracht raakten de zijden van het buitenste vierkant de cirkels niet. Er is een kleiner buitenste vierkant waarvan de zijden loodrecht op de diagonalen staan maar waarvan de zijden de cirkels wel raken.
De straal van de cirkels is r. Toon aan dat de oppervlakte van dit buitenste vierkant is . Laat zien dat dit minder is dan het dubbele van de oppervlakte van het binnenste vierkant.
Opdracht 4
In de vorige opdracht zag je een voorbeeld van een rakend vierkant om vier even grote cirkels. Er zijn ook andere manieren om een omhullend vierkant om vier even grote cirkels te construeren.
Op een van de cirkels ligt een punt P dat beweegt over een kwart van de cirkelrand.
De draaihoek is en de straal van de cirkels is r. Toon aan dat de formule voor de oppervlakte van het vierkant is . Bewijs ook dat de oppervlakte minimaal is voor hoek . Onderzoek met onderstaande animatie en met berekeningen wanneer de oppervlakte maximaal is.
Opdracht 5
In de vorige opdrachten was sprake van een vierkant dat de cirkels omhult. Alternatief is een ruit.
De straal van de cirkels is r en de hoek tussen de x-as en een zijde is .
Toon aan dat de formule voor de omtrek van de ruit is
Toon ook aan dat de formule voor de oppervlakte van de ruit is
dan wel .