Binomialverteilung- Definition und Anwendungen

Autor:: Silvia Riedler, Andreas Lindner

Thema:: Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeit oder Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wichtige Begriffe und Definitionen

n-stufiges Bernoulli-Experiment (Bernoulli-Versuch) Dies bezeichnet eine Versuchsserie, die aus dem n-maligen Durchführen eines Versuches besteht. Jeder Versuch hat genau zwei Versuchsausfälle ( z.B Münze: "Kopf"und "Zahl", Würfel: "6er" und "kein 6er", "Ereignis" und "nicht Ereignis") und wird unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Die Versuche sind jeweils unabhängig von eineinander. Binomialverteilung BV(n,p) Die Zufallsvariable X nennt man binomialverteilt mit den Parametern n und p.

n ist die Anzahl der Versuche
p ist die Wahrscheinlichkeit/Häufigkeit, dass das Ereignis E eintritt
k gibt die Anzahl der Versuche an, bie der E eintritt. Daher ist k immer kleiner oder gleich n.

P(X=k) =

mit

und

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man Binomialverteilung mit den Parametern n und p. X gibt dabei die Anzahl der Versuche an, bei der E eintritt. z.B Tritt eine Ereignis 5 mal auf, so gilt X= 5. Folgend Bezeichnungen sind zu beachten: P(X = k) Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X genau den Wert k annimmt. Das Ereignis E tritt genau k mal auf. P(X k) Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert k annimmt. Das Ereignis E tritt höchstens k mal auf. X nimmt alle Werte zwischen 0 und k an. P(X k) Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X mindestens den Wert k annimmt. Das Ereignis E tritt mindestens k mal auf. X nimmt alle Werte zwischen k und n an. P( ) Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte zwischen a und b annimmt. Das Ereignis E tritt mindestens a-mal und höchstens b- mal auf. X nimmt alle Werte zwischen a und b an, wobei

Das Galtonbrett geht zurück auf Sir Francis C. Galton (1822-1911). In dieser Simulation werden Hindernisse - bei einer realen Umsetzung beispielsweise Nägel - in Form eines Dreiecks in 6 Reihen angeordnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel bei einem Hindernis nach links oder rechts fällt, ist gleich groß:

. Die Verteilung der Kugeln in den Behältern entspricht einer Binomialverteilung mit n = 6 und p = 0,5. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Kugel den Weg nach rechts nimmt. 1 = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)

= 1·0,5⁶ + 6·0,5⁶ + 15·0,5⁶ + 20·0,5⁶ + 15·0,5⁶ + 6·0,5⁶ + 1·0,5⁶ = 0,0156 + 0,0938 + 0,2344 + 0,3125 + 0,2344 + 0,0938 + 0,0156

Vergleich mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner

Im Vergleich dazu die Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine Binomialverteilung mit n = 6 und p = 0.50.

Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p so gilt: Erwartungswert E(X)=

Varianz V(x)=

Standardabweichung

Multiple Choice-Test

Bei einem Multiple Choice-Test mit 10 Fragen gibt es jeweils 4 Antwortmöglichkeiten. Jede der 10 Fragen ist jeweils unabhängig von anderen Fragen beantwortbar. Der Test gilt als bestanden wenn mindestens 5 Fragen richtig beantwortet wurden.