Globalverhalten ganzrationaler Funktionen
Mit Globalverhalten einer Funktion ist gemeint, wie sie sich für sehr große oder sehr kleine x verhält. Mathematisch schreibt man . Anhand der Potenzfunktionen konntest du das Globalverhalten schon relativ einfach begründen.
Wiederholung aus dem Unterricht:
Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe beliebiger (und auch beliebig vieler) Potenzfunktionen.
In der folgenden Einheit sollst du untersuchen, wie das globale Verhalten ganzrationaler Funktionen von den einzelnen Summanden abhängt.
Aufgabe 1: Vergleich ganzrationaler Funktionen mit Potenzfunktionen
Im Koordinatensystem werden jeweils die Graphen von zwei Funktionen dargestellt. Dabei ist f eine ganzrationale Funktion, g ist eine Potenzfunktion.
a) Vergleiche die Funktionsterme sowie den Verlauf der Funktionen miteinander, ohne etwas zu verändern.
b) Vergrößere die Skalierung der beiden Achsen, so dass man beide Graphen noch erkennen kann, sie also keine der beiden Achsen vollständig verdecken. Vergleiche den Verlauf der beiden Graphen, nachdem du auf diese Weise möglichst weit hinausgezoomt hast.
Aufgabe 2: Begründen des Globalverhaltens
Untersuche nun mit dem folgenden Applet, warum man das Globalverhalten ganzrationaler Funktionen auf diese Weise untersuchen kann.
Betrachte dazu die Differenzfunktion h(x)=f(x) - g(x), die den Unterschied zwischen f und g beschreibt .
Untersuche, wie sich h verändert, wenn man wieder die Skalierung der Achsen stark vergrößert. Du kannst du Anklicken h anzeigen oder ausblenden lassen.
Begründe anschließend mithilfe deiner Beobachtungen im Heft, dass bei einer ganzrationalen Funktion f nur der Summand mit der höchsten Potenz von x das Verhalten für bestimmt.