P07 Két egymáson kívül levő kör ...
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
- Témák:
- Kör, Metsző egyenes, Érintő
közös érintő szakaszainak Thalész-körei ...
Fejezzük be a mondatot!
A sejtéshez
Sejtés
A vizsgált négy kör két pontban metszi egymást. Az is sejthető, hogy a két pont illeszkedik a két kör centrálisára.
Érdemes utánagondolni annak, hogy a körös érintőszakaszok Thalész.körei merőlegesen metszik a köröket. (1)
Lépések a bizonyítás irányába
Megjegyzések a 2. applethez
ésA megjegyzések előtti számok az appletben a vezérlő gombok alatti számoknak felelnek meg,
1 - A négy Thalész-kor bármelyikének választása esetén ugyanaz a gondolatmenet vihető végig. (Ennek érdemes utána gondolni.)
.2 - Itt P1 pólusú inverziót választottunk, de bármelyik esetén ugyanaz a helyzet, (Gondoljuk meg!)
3-4 - A k1 és k2 képei c átmérőegyenesű körök. (c'=c)
6 - Szögtatás és (1)
7 - A k1' és k2' középpontjai illeszkednek c-re és k,E'-re, így a két egyenes metszéspontja (O).
8 - P2 képe illeszkedik c-re és k,E'-re, így P2' = O.
A kérdés, most már csak az, hogy a P1 és P2 pontokon kívül van-e más olyan pont melyet egy tetszőleges inverzió pólusának választva az adott két kör képei koncentrikusak.
Indirekt bizonyítás:
Legyen, P3 a P1-től és P2-től különböző pont. Tekintsünk egy P3 pólusú inverziót, ami a k1 és k2 köröknek koncentrikus öröket feleltet meg,
és koncentrikus körök.
, , és ,
, , és
c' és lE' közül az egyik kör. Ellentmondásra jutottunk, mert egy kör nem lehet merőleges két koncentrikus kör mindegyikére merőleges. A sejtést bebizonyítottuk,
A hiperbolikus geometriában
Ez utóbbi applet több szinten is Dr. Szilassi Lajos tanár úrnak köszönhető:
- Ő készítette az appletet.
- Ő készítette a modellt, amiben az applet készült.
- Ő fedezte fel azt, hogy két kör közös érintőit hogyan lehet megszerkeszteni a modellben.