Kreis-6-Ecke an Ellipsen
- Author:
- Walter Füchte
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (25. Mai. 2022) Diese Seite ist auch eine Aktivität des Geogebra-Books Sechseck-Netze
Das Applet zeigt 6-Eck-Netze aus Kreisen, welche sich an einer Ellipse konstruieren lassen.
In den meisten Fällen existieren die 6-Eck-Netze auch für Hyperbeln, der logische Aufwand, diese Netze im Applet
mit einzubauen, war uns jedoch zu groß.
Wir geben für die einzelnen Situationen an, ob die Konstruktion auch für Hyperbeln greift!
- Die Tangenten an einen Mittelpunkts-Kegelschnitt und die Kreise des elliptischen Kreisbüschels durch die Brennpunkte erzeugen ein 6-Eck-Netz.
- Die Tangenten an einen Mittelpunkts-Kegelschnitt und die Kreise des hyperbolischen Kreisbüschels um die Brennpunkte erzeugen ein 6-Eck-Netz.
- Die Tangenten an einen Mittelpunkts-Kegelschnitt und eine Schar doppelt-berührender Kreise erzeugen ein 6-Eck-Netz
- Die Geraden des Geradenbüschels durch einen der Brennpunkte, eine Schar von Kegelschnitt-Tangenten und eine Schar den Kegelschnitt doppelt-berührender Kreise erzeugen ein 6-Eck-Netz.
- Die im Inneren doppelt-berührenden Kreise und die elliptischen Kreise durch die Brennpunkte einer Ellipse mit der Exzentrizität erzeugen ein 6-Eck-Netz. Das Pendant für Hyperbeln mit der Exzentrizität , (rechtwinklige Hyperbel) scheint nicht zuzutreffen!
- Die doppelt-berührenden Kreise eines Mittelpunkts-Kegelschnitts und die Kreise eines elliptischen Kreisbüschels durch die Brennpunkte erzeugen ein 6-Eck-Netz.
Zu 3: Dieses 6-Eck-Netz läßt sich indirekt aus den "besonderen Dreiecksnetzen aus Kreisen" von Walter Wunderlich (1938)
herleiten siehe das Literaturverzeichnis [WUNW]
und die Aktivitäten Cartesisches Oval mit endlichem Kreis-6-Ecknetz
und Ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen
W. Wunderlich hat in dem wunderschönen Artikel 1938 nachgewiesen, dass sich aus den doppelt-berührenden Kreisen
2-teiliger bizirkularer Quartiken auf mehrere Weisen (auf genau 8 Arten) 6-Eck-Netze bilden lassen.
Kurz: eine 2-teilige bizirkulare Quartik besitzt 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise, einer davon ist imaginär.
Zu jeder Symmetrie existiert eine Schar doppelt-berührender Kreise. Auf der Hauptsymmetrie liegen die 4 Brennpunkte,
die zugehörigen doppelt-berührenden Kreise verlaufen im Inneren der Quartik.
Die 3 anderen Scharen liegen im Äußeren der Quartik. Durch jeden Punkt im Äußeren gehen aus jeder
der 3 Scharen genau 2 Kreise.
Durch Auswahl der Kreise aus diesen 3 Scharen ergeben sich 23 = 8 verschiedene Möglichkeiten, 6-Eck-Netze zu konstruieren.
Läßt man 2 der 4 Brennpunkte im Grenzfall zusammenfallen, und wählt man diesen doppelten Brennpunkt als ,
so erhält man einen Mittelpunkts-Kegelschnitt.
Zur Konstruktion der doppelt-berührenden Kreise dienen die Leit-Kreise.
In der Grenze zum Kegelschnitt, wird einer dieser Leitkreise zur Leitgeraden ( = ein Kreis durch ),
die beiden anderen Leitkreise fallen zu dem doppelt-zählenden Leitkreis des Kegelschnitts zusammen.
Aus den beiden Arten von doppelt-berührenden Kreisen werden die Tangenten, die zusammen mit
den doppelt-berührenden Kreisen ein 6-Eck-Netz erzeugen!
Siehe die nächste Aktivität Kegelschnitte als Limit.
Zu 4:
Nilov Beispiel (c): F N (c):
Versuche, bei anderen bizirkularen Quartiken analoge 6-Eck-Netze zu finden, waren bisher erfolglos!
Zu 5: Dies ist ein singuläres Beispiel: Nilov (e) 6-Eck-Netz . Die Konstruktion liefert nur für den Spezialfall einer Ellipse,
für welche der Kreis um den Mittelpunkt durch die Brennpunkte die Ellipse im Nebenscheitel berührt, ein 6-Eck-Netz.
Für rechtwinklige Hyperbeln ( ) fanden wir keine Konstruktions-Idee.
Überhaupt scheint es uns bisher das einzige Beispiel mit einem 6-Eck-Netz im Inneren der bizirkularen Quartik zu sein,
bei welchem die im Inneren doppelt-berührenden Kreise beteiligt sind - wenn man von Konstruktionen
mit einem gemeinsamen orthogonalen Kreis absieht, siehe nächstes Beispiel.
Zu 6: Die an der Konstruktion beteiligten Kreise sind orthogonal zu einem gemeinsamen Kreis.
Man wähle spiegelbildlich zum Orthogonal-Kreis 2 Punkte und projiziere den Kegelschnitt stereographisch
so auf die Kugel, dass die beiden Punkte Nord- und Südpol und der Orthogonal-Kreis Äquator werden.
Projiziert man nun die Bildkurve des Kegelschnitts und die zum Äquator senkrechten Kreise in die Äquatorebene,
so werden die Kreise Geraden eines Geradenbüschels und Tangenten an die BildKurve, welche wiederum
ein Teil eines Kegelschnitts ist: das Ergebnis ist ein 6-Eck-Netz aus Geradenstücken! Ergänzung - nicht neu .
Berührorte:
Das sind die Orte, in welchem sich Kreise aus den Kreisscharen berühren. Diese Orte bilden die Ränder der Gebiete,
in welchem die Kreise 6-Eck-Netze bilden.
Zeigen diese Orte Gemeinsamkeiten?
Bei 6-Eck-Netzen aus 3 Kreisbüscheln ist eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines 6-Eck-Netzes
das Zerfallen der Berührorte in das Produkt von Kreisen (Punktkreise eingeschlossen).
Das "besondere Dreiecksnetz aus Kreisen" von W. Wunderlich besteht aus doppelt-berührenden Kreisen einer
2-teiligen bizirkularen Quartik. Berührort ist hier die Quartik selber Ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen .
Bei den Beispielen oben findet man neben der Ellipse selber noch berührende Kreise (Geraden) als Berührorte.