Bizirkulare Welt 2
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Möbius-Werkzeuge circle-tools (Juni 2019) verbessert nach einem sehr hilfreichen Tipp (Danke! 25.Juni 2019)
Das Applet oben soll, wie das Applet auf der Seite zuvor, einen Überblick über die möglichen Formen der Kurven dieser Klasse bieten. Zu den Eigenschaften der bizirkularen Quartiken verweisen wir auf die Seite zuvor. Hier soll erläutert werden, was zu sehen ist. Bizirkulare Quartiken sind spezielle Kurven 4. Ordnung. Sie besitzen 4 Brennpunkte, die auch zusammenfallen können. Die Brennpunkte bestimmen konfokale bizirkulare Quartiken: durch jeden Punkt der Ebene, von den Brennpunkten abgesehen, gehen genau 2 dieser Quartiken - sie schneiden sich orthogonal. Die konfokalen bizirkularen Quartiken sind Lösungskurven einer komplexen elliptischen Differentialgleichung, für welche die absolute Invariante der 4 Nullstellen (das sind die Brennpunkte) reell ist. Geometrisch kennzeichnen läßt sich dies damit, dass die 4 Brennpunkte und mit ihnen die konfokalen Quartiken mindestens einen Symmetriekreis besitzen. Man vergleiche dazu die Seite 4 Punkte ... und ihre Symmetrien.- Jede Symmetrie teilt die Brennpunkte in 2 symmetrisch liegende Brennpunktpaare auf, zu welchen 2 Kreisbüschel gehören. Durch jeden Punkt der Ebene, von den Brennpunkten abgesehen, geht aus jedem dieser beiden Büschel genau ein Kreis. Die Quartiken sind Winkelhalbierende dieser Brenn-Kreise - und sie sind wie üblich bei Winkelhalbierenden orthogonal!
- Zu jeder Symmetrie gehört eine Schar von Kreisen, welche die einzelne Quartik doppelt berühren (D-B-Kreise).
Spiegelt man einen der Brennpunkte (hier F1) an diesen D-B-Kreisen, so liegen die Spiegelpunkte
auf einem Kreis, dem zugehörigen Leitkreis.
Diese Eigenschaft kann man zur Konstruktion einer Quartik als
Ortskurve verwenden!
Bewegt man im Applet oben den Scheitel O des Leitkreises auf dem Symmetriekreis kx, so erhält man
verschiedene Quartiken der konfokalen Schar.
- Die 4 verschiedenen Brennpunkte liegen auf einem Kreis - hier auf dem Symmetriekreis kx. Die Quartiken besitzen 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise, einer davon ist imaginär. Die Quartiken sind 2-teilig.
- Die Brennpunkte liegen zu 2 Paaren spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Symmetriekreisen. Die Quartiken sind 1-teilig. Man erhält im Applet oben diese Form, wenn man den Punkt F2 bzw. iF2 auf kx in das Innere des Kreise kE schiebt: die beiden Brennpunkte F2und F'2 liegen dann spiegelbildlich zu kx auf ky.
- Setzt man mit dem Schieberegler den Radius von kE auf 0, so fallen 2 Brennpunkte zusammen.
- Die Quartiken sind dann das konforme Bild von konfokalen Kegelschnitten (Ellipsen und Hyperbeln) unter einer Möbiustransformation. Der doppelt-zählende Brennpunkt entspricht möbiusgeometrisch dem Punkt .
- Bewegt man im letzten Falle den Brennpunkt F2 auf den doppelt-zählenden Brennpunkt, so bleiben ein einfacher Brennpunkt F1 und ein dreifach-zählender Brennpunkt. Die Quartiken sind das möbiusgeometrische Bild von konfokalen Parabeln.
- Für zwei doppelt-zählende Brennpunkte erhält man doppelt-zählende Kreise.