Newton Verfahren
In vielen Anwendungskontexten ist es nötig die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen. Leider gibt es nur für wenige Funktionen allgemeine Lösungsansätze hierfür. In den übrigen Fällen hilft uns die Numerik, hier das Newton-Verfahren.
Aufgabe:
Gehe im folgenden Applet die einzelnen Schritte des Newton-Verfahrens durch, indem du den entsprechenden Schieberegler verschiebst. Beantworte anschließend die Fragen darunter.
In jedem Schritt werden zwei Punkte hinzugefügt. Beschreibe, wie diese beiden Punkte ermittelt werden (noch keine Rechnung/Formel).
Die Punkte auf der x-Achse werden entsprechend des aktuellen Schritts mit bezeichnet. Also z.B. kommt im 5. Schritt der Punkt auf der x-Achse hinzu. Gib die Koordinaten des Punkts auf dem Graphen im 1. Schritt und im n-ten Schritt an.
Berechne nun für und den Wert von . Tipp: Nullstelle der Tangente.
Untersuche nun andere Funktionen und andere Startwerte . Untersuche, ob das Verfahren immer zu einer Nullstelle führt, oder ob bei bestimmten Graphen Probleme auftreten können.
Für Schnelle:
Angenommen der Wert von ist bekannt. Stelle einen Term auf, mit dem der Wert von berechnet werden kann.