A Császár poliéder
Egy középiskoai matematika verseny hatása
1948-ban a Kürschák József matematika verseny első fordulójának az egyik feladata így hangzott:
- „Bizonyítandó, hogy a tetraéderen kívül nincs más olyan konvex poliéder, amelynek bármely két csúcsát él köti össze.”
A Császár poliéder négy változata
Nevezzünk két poliédert ránézésre azonosnak, ha kombinatorikus szerkezetük megegyezik, továbbá az egymásnak megfelelő csúcsoknak ill. a lapjaik síkjainak a folytonos mozgatásával egyik átvihető a másikba, vagy annak egy síkra vonatkozó tükörképébe anélkül, hogy eközben a sokszög bármely lapja, vagy maga a felület önátmetszővé válna. Két poliéder ránézésre különböző, ha az itt leírt transzformáció csak úgy állhat elő, hogy közben önátmetsző lapok, ill. felület keletkezzen.
1986-ban – meglepő módon –sikerült Császár poliédernek egy ránézésre különböző változatát sikerült megtalálni.
1991-ben J. Bokowski és A. Eggert megmutatta, hogy a Császár poliédernek négy, ránézésre különböző változata van, több nem lehetséges. Az így kapott négy poliéder mindegyikének van tengelyesen
szimmetrikus változata.
Az alábbiakban ezeket a poliédereket mutatjuk be az említett cikkekben leírt adatokkal, azt is megmutatva, hogy ezek milyen szűk keretek között változtathatók.
Vegyük kézbe!
Ezt olvasóink bizonyára szívesen meg is tennék. Ennek elvi akadálya nincs, itt még megtalálhatók a modellek elkészítéséhez szükséges adatok.
Kétség kívül igaz, hogy a poliéder mind a négy változata igen "zsúfolt"nak tűnik, az adatok csekély változtatásával könnyen önátmetszővé válhat.
A fenti applet csúcsainak a mozgatásával könnyen előfordulhat, hogy egy-egy csúcsba befutó lapok metszhetik egymást. Ha ez bekövetkezik, akkor az adott pont színe kékről pirosra változik. Így tapasztalhatják olvasóink, igen nehéz feladat kicsit szellősebbé tenni a konstrukciót, ránézésre különböző változatot találni úgyszintén.