変換〜ベースや次元を単純化しよう
１．線形な写像
線形な空間というとき、比例というイメージで捉えることができたね。
写像[mapping]というは対応づけ、移し替え、つなげ方、操作、関数のことです。
＜線形な写像＞
線形な写像というのは、空間と空間のつなげ方、移し替え方が
やはり比例のようになるもののことだね。
また、空間を同じ空間自身に移す線形写像を線形な変換とも言います。
和の像が像の和になり、定数倍の像が像の定数倍になり、
原点の像が原点なら
比例と同じだから、線形写像といえるでしょう。
原点が動かない合同変換は、みな線形写像になるはずだね。
恒等変換、
回転移動、
ｘ軸対称移動、
ｙ軸対称移動、
原点対称移動、
原点を通る直線y=mxについて線対称移動（鏡映変換）
また、相似もOKだ。
原点が動かなければね。
位置ベクトルをｋ倍する相似変換
＜線形写像の定義＞
RnからRmへの写像ｆが、a,b∈Rn,ｋ∈Rにたいして、
f(a+b)=f(a)+f(b), f(ka)=kf(a)が成り立つとき、ｆは線形写像（１次変換）だ。
n=mのとき、線形変換と呼ぶ。
（例）
R2の写像ｆ：(k,l)→(3k-l, -2k+3l)は線形変換か？
x=、A=とおくと、
f(x)=Axとかけるから、行列の分配法則と定数倍の法則と積の性質より、
f(a+b)=A(a+b)=Aa+Ab=f(a)+f(b), f(ka)=Aka=kAa=kf(a)。だから、線形変換だ。
（例）
R2の線形変換ｆで、標準基底e1,e2をf(e1)=,f(e2)=とする行列Aは？
Ae1== , Ae2=とだから、これを１つにまとめると、
A(e1, e2)=AE=A=
または、
x=、=ke1+le2とおくと写像の線形性から、
f(x)=kf(e1)+lf(e2)=k+l == =Ax
A=
（例）
R2の線形変換ｆで、→ , →とする行列Aは？
A= , A=まとめると、A
のように、行列B,Cを名付ける。
AB=Cから、B-1を右からかけて、
A=CB-1＝= =
（例）
R2の線形変換fの標準基底(列ベクトルe1,e2）の表現行列がA=のとき、
新基底（列ベクトルu1=,u2= ）での表現行列Bは？
①まず、基底の取り替え行列Pを求めよう。
(u1,u2)=(e1,e2)Pとすると、(, )=EP=Pだから、P= だね。
あとで使うから、逆行列を計算しておこう。P-1=1/(1-2){{1,-2},{-1,1}}=
② e1,e2に対しては、(f(e1),f(e2))=(e1,e2)A=(e1,e2)
u1,u2に対しては、(f(u1),f(u2))=(u1,u2)B
③ ①から、(u1,u2)=(e1,e2)P=(e1,e2) =(e1+e2, 2e1+e2)なので、
(f(u1),f(u2))=(f(e1+e2), f(2e1+e2))=(1f(e1)+1f(e2),2f(e1)+1f(e2))=(f(e1),f(e2))P
④ ①から、さらに（u1,u2)=(e1,e2)Pの両辺に右からP-1をかけて、(u1,u2)P-1=(e1,e2)
以上の４つの情報から、代入をくり返してみよう。
③(f(u1),f(u2))=(f(e1),f(e2)) P
② ＝(e1,e2) A P
④ ＝(u1,u2)P-1 A P
つまり、(f(u1),f(u2))＝(u1,u2)P-1 APとなるが、②から(f(u1),f(u2))=(u1,u2)Bだから、
B＝P-1AP= =
結果論ですが、
(u1,u2){{1,0},{0,4}}＝(u1,4u2)だから、u1方向は変えず、u2方向が４倍になっているとわかるね。
（この秘密はAを対角化してみるとわかるでしょう。Aの固有値が1,4で対応する不動直線がy=x,y=1/2x）
（一般化）
基底ｘから新基底Xに変換する行列がPで、線形変換ｆのｘでの表現をA,Xでの表現をBとすると、
B=P-1APになることのイメージを作る。
A
ｘ⇒⇒⇒ｆ(x)
↓ ↑
↓P ↑P-1
↓ ↑
X⇒⇒⇒f(X)
B
ベースxでｆしてｆ(x)にするには、最短でAをすればよいね。
ところが、遠回りもできる。
ベースｘからPしてベースXに移動してからBすることでXにｆをする。
まだ、ベースがXだから、ベースをｘにもどすためにPの逆をる。
つまり、PしてBしてP-1することが、Aすることといっしょ。
PしてBしてP-1することは、
行列ではP-1BPと右から順に作用するから、
B=P-1APとなるね。
（例）
線形変換ｆの基底での表現行列がA＝ のとき、
新基底 での表現行列Bは？
変換行列は(c, d)=(a,b)Pから、 となるので、
P＝
B=P-1AP=
線形変換での基底変更のよさを点Cを動かして実感しよう
２．多項式の線形変換
多項式のベクトル空間でも
線形変換の表現行列や固有空間をさぐってみよう。
＜多項式の表現行列＞
２次の多項式全体のベクトル空間R[x]2で、基底を{1,x,x2}の３つにするとき、
線形変換T：ｆ(x) → f'(x)x+f(0)x2+f(1)とする。
このTを表現する行列Aを求めるには、どうする？
まず、基本となる３つの基底の変換先を考えてみよう。
1=f(x)=1+0xとおくと、f'(x)=0, f(0)=1+0=1, f(1)=1+01=1と係数が決まった。
T：1 → 0x+1x2+1=1+x2={1,0,1}
x=f(x)とおくと、f'(x)=1,f(0)=0,f(1)=1と係数が決まった。
T ：x →1x+0x2+1=x+1=1+x={1,1,0}
x2=f(x)とおくと、f'(x)=2x,f(0)=0,f(1)=1と係数が決まった。
T ：x →2xx+0x2+1=2x2+1=1+2x2={1,0,2}
(T(1),T(x),T(x2))=(1+x2,1+x,1+2x2)={1,x,x2}{}
A={}
＜多項式の変換の固有空間＞
２次の多項式全体のベクトル空間R[x]2で、基底を{1,x,x2}の３つにするとき、
線形変換T：ｆ(x) → f(1+2x)とする。
このTを表現する行列Aを求めて、Tの固有値と固有空間をさぐろう。
まず、基本となる３つの基底の変換先を考えてみよう。
1=f(x)=1+0xとおくと、f(1+2x)=1+0・2x=1だから、T：1 → 1={1,0,0}
x=f(x)とおくと、f(1+2x)=1+2xだから、T ：x →1+2x={1,2,0}
x2=f(x)とおくと、f(1+2x)=(1+2x)2=1+4x+4x2だから、T ：x →1+4x+4x2={1,4,4}
(T(1),T(x),T(x2))=(1,1+2x,1+4x+4x2)={1,x,x2}{ }
A={ }
=
固有多項式|A-tE|=(1-t)・|{{(2-t),4},{0,(4-t)}}|=(1-t)(2-t)(4-t)=0から、固有値はt=1,2,4。
t=1のとき(A-E)x=0から、
{{0,1,1}, ｘ＝０ となるのは、基底{1,x,x2}の係数が{1,0,0}のときだけ。W1={k|k∈R}
{0,1,4},
{0,0,3}}
t=2のとき(A-2E)x=0から、
{{-1,1,1}, ｘ＝０ となるのは、基底{1,x,x2}の係数が{1,1,0}のときだけ。W2={k(1+x)|k∈R}
{0,0,4},
{0,0,2}}
t=4のとき(A-E)x=0から、
{{-3,1,1}, ｘ＝０ となるのは、基底{1,x,x2}の係数が{1,2,1}のときだけ。W4={k(1+2x+x2)|k∈R}
{0,-2,4},
{0,0,0}}
３．商空間で同型写像にする。
＜同型写像＞
でも、点のあつまり、
たとえば、直線や平面がごそっと、みんな原点にうつったらどうしましょう？
原点にうつったものたちの、「原点のもと」を１つにまとめてしまえる。
「原点のもと」のことを整数の分類のときの倍数のように見てみる。
倍数の集合で割った余りで、整数を分類するのが剰余系だったね。
この剰余系のように、空間をもとになる集合で割った余りで系に分割してみよう。
すると、「原点のもと」以外の集合は、原点でないところにズレて移動する。
「原点のもと」を０扱いするように、原点を通る線や面で空間を切る。
それと平行に空間を切っていき、その切ったものがどう対応するのか？
という対応関係を調べていくと、
線→点
面→点
のように次元がちがっても、対応関係が１：１になる写像、同型写像ができる。
というお話です。
詳しくは次の用語が３種の神器になりますよ。
＜Imf＞
VはからV’への線形写像ｆで、
Iｍfは線形空間Vのｆによる像[Image of function]で、ｆ（V)のこと。
ImfはV'の部分になる。
＜Kerf＞VはからV’への線形写像ｆで、
Kerｆはf-1(0)、つまりVのうちｆの像が０になる部分。核[Kernel to zero]という。
＜合成写像＞
写像ｆを表現するのが、n次をｍ次にうつすm行ｎ列行列A
写像ｇを表現するのが、ｍ次をｌ次にうつすｌ行ｍ列行列B
ｇ（ｆ（ｘ））つまり、g○ｆの表現行列はBAである。
（例）
T：R3→R2の線形写像が零ベクトルになる解空間が線形空間になる。
列ベクトルu=のとき、つまり、同次連立方程式を、
T（u)=u = 0= とするときの解空間を求めてみよう。
係数行列を簡約化する。
１行目を-2倍して２行目にたす。
{{1, -2, 3}, →{{1, -2, 3},
,{2,-3,5}} {0, 1,-1}}
2行目を2倍して1行目にたす。
{{1, -2, 3}, →{{1, 0, 1},
{0, 1,-1}} {0, 1,-1}}
最後の係数にベクトルuをかけて、
２行目からy-z=0, x+z=0。これから、(x,y,z)=k(1,-1,-1) これが解空間で、基底ベクトルは
(1,-1,-1)とすると、これ１個。退化した次元は１。
(x-0)/1=(y-0)/-1=(z-0)/-1ともかけるから、解空間は
原点を通り、方向ベクトル(1,-1,-1)の直線だから、線形空間だね。
この写像Tの像で0に写った部分、核（Kerf)が (x,y,z)=k(1,-1,-1) で、dim(kerf)=１．
＜同型写像と次元＞
VからV’への写像が同型写像（全単射、上への１対１）になるのは、次元が不変のとき。
平面が直線Imfにうつるとき、
０の逆元、Kerｆと平行な直線の集合VF={K0,k1,k2,k3,....}をV内にとる。
k0＝kerfとすると、直線k0の各点はすべて、V'の０に移る。
直線k1の各点は、V'の直線Imf上の０とはちがう点１にうつる。
直線k2の各点は、V'の直線Imf上の０とはちがう点２にうつる。
直線k3の各点は、V'の直線Imf上の０とはちがう点３にうつる。
直線k4の各点は、V'の直線Imf上の０とはちがう点４にうつる。
。。。。。
VFはVのKerｆによる「商空間」といい、V/Kerfとかく。
この場合、
dimV=2,
dim(Kerf)=1
dim(Imf)=1
dimV-dim(Kerf)=dim(Imf)
となっている。
dim(Imf)=dim(rankA)でもあるので、
dimV＝dim(Kerf)＋dim(rankA)
とも書けるね。
dimV=2,
dim(Kerf)=1
dim(Imf)=dim(rankA)=1
の場合はfによって、平面(dimV=2)が直線(dim(Imf)=1)にうつるなら、
残った次元は2-1=1になる。この次元が核の次元(dim(Kerf)=1)になるということだね。
だから、もしも、空間が(dimV=3）が直線(dim(Imf)=1)にうつったとする。
残った次元は3-1=2になる。この次元が核の次元２になるということだね。
また、
dim(V/Kerf)=dim(Imf)だから、
V/KerfとImfは同型と言える。
（例）
R2からR2への線形写像
ｆの表現がA=
{{-1,2},
{3,-6}}
のとき、
１行目の３倍を２行目にたすと、
A'=
{{-1,2},
{0,0}}となるから、rankは１。
だから、dim(Imf)=dim(rankA)=1（Imfは直線）
Ax=0とする。x=(x,y)とおくと、
-x+2y=０。3x-6y=0。
x=2k,y=kとおくと満たす。
kerfはy=1/2xKerfである直線y＝x/2はV'の(0,0)に移る。
dim(kerf)=1（Kerfも直線）
(X,Y)=(-x+2y, 3x-6y) Y=-3X
だから、Imf :y=-3x。
dim(Imf)=1（Imfは直線）
V/KerfというVを直線Kerfと同じ傾きの直線の集合に分割する。
直線を移動すると、その写像f(V/Kerf)はImf上の点となり、点が移動するね。