Die Lorentztransformation
Die Lorentztransformation
Nun nehmen wir an dem ansonsten gleichen Aufbau des Gedankenexperiments eine kleine Änderung vor, die aber eine große Wirkung haben wird: Wir ersetzen den Ball durch einen Lichtblitz. Der Blitz wird sich nun im Raum mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit ausbreiten. Wir verwenden hier nicht etwa die Ausbreitung in Luft, weil nur die beiden Naturkonstanten und als elektrische und magnetische Feldkonstanten stoffunabhängig sind und das somit auch für die Lichtgeschwindigkeit gilt. Aus der Stoffunabhängigkeit lässt sich folgern, dass sich das Licht unabhängig von der Relativbewegung von Quelle und Beobachter und auch unabhängig von der Wahl sonstiger Bezugssysteme immer den gleichen Betrag annimmt. Dieser wurde 1983 auf exakt festgelegt. Davor war c eine zu messende Größe.
Mit dem folgenden Geogebra-Applet möchte ich die Ausbreitungseigenschaft des Lichtes nutzen, um damit die Zeitdilatation und die Längenkontraktion zu begründen. In der gleichen Darstellung lege ich auch die Grundgedanken zur Herleitung der Lorentztransformationsgleichungen dar. In diesem Applet können auch wieder einige grafische Elemente zur Anzeige von Erläuterungen angeklickt werden. Ich habe aber diesmal zwei Schaltflächen eingebunden, mit deren Hilfe man sich zuerst über die Zeitdilatation und die Längenkontraktion informieren kann und anschließend die Beschäftigung mit den Lorentztransformationsgleichungen möglich ist. So schlage ich das folgende Vorgehen vor:
- Ein erstes Mal die Schaltfläche "Zeitdilatation/Lorentztransformation" anklicken. Es wird dargestellt, wie der Lichtblitz sich im System des Wagens von der einen Seite zur anderen ausbreitet. Dabei legt der Lichtblitz in der Zeit t' den Weg zurück. Den Strich an der Zeitvariablen verwende ich bereits hier, weil wir bald sehen werden, dass noch eine zweite Variable für die Zeit nötig sein wird. Ansonsten kann noch beobachtet werden, dass das Laborsystem sich relativ zum Wagen nach links bewegt, ohne dass diese Bewegung einen Einfluss auf den Lichtblitz im bewegten System nimmt.
- Die gleiche Schaltfläche ein zweites Mal anklicken. Nun wechselt der gedachte Beobachter hin zum Laborsystem. Aus diesem heraus breitet sich nun der Lichtblitz zusammen mit dem Wagen nach rechts (und weiterhin von einer Seite zur anderen) aus. Im Unterschied zur Galilei'schen Betrachtung wird jetzt aber der Lichtblitz nicht als Überlagerung der Bewegungen etwa schneller sein, er breitet sich auch gegenüber dem Laborsystem mit c aus. Er legt nun den Weg in der Zeit t zurück, während der Wagen sich mit der Geschwindigkeit v um den Betrag nach rechts bewegt. Zugleich habe ich jeweils für das Labor und den Wagen ein "Maßband" angezeigt, das die Herleitung der Längenkontraktion unterstützen soll. Am Ende der Bewegungsdarstellung werden Texte eingeblendet, mit denen ich Hinweise zur Herleitung der Gleichungen für die Zeitdilatation und die Längenkontraktion gebe. Ausblenden lassen sich die Texte durch Anklicken.
- Die Schaltfläche "Transformationsgleichung" anklicken. Jetzt befindet sich der Beobachter wieder auf dem Wagen. Der Blitz wird nun aber nicht mehr orthogonal zu den Seiten des Wagens ausgesandt, sondern so, dass er die gegenüberliegende Seite um die Strecke l0 versetzt erreicht. Das Ende dieser Strecke sei die Koordinate x', die zusammen mit der Zeit t' (nicht zu verwechseln mit der Zeit t' von vorhin) so nach x und t transformiert werden sollen, dass sie das Ankommen des Blitzes aus Sicht des Laborsystems richtig beschreiben.
- Ein erneutes Anklicken der Schaltfläche zeigt nun die Lichtausbreitung aus Sicht des Laborsystems. Auch hier werden am Ende der Animation wieder die Texte eingeblendet, die Hinweise zur Herleitung der Gleichungen für die Lorentztransformation geben. Allerdings habe ich hier auf die Rücktransforamtionen verzichtet. Diese kann man durch entsprechende geometrische Überlegungen aus heraus finden oder durch Auflösung des Systems Gleichungen für x und t nach dem Paar (x'; t') gewinnen.