M03 Kör képe
Korábban láttuk, hogy egyenes képe lehet egyenes és kör is. Ebből következően indokoltnak látszik annak megvizsgálása, hogy kör képe mi lehet geometriai inverzió esetén. Azt is megállapítottuk, hogy az alapkör pontjai fixpontok, így az alapkör fixkör. (1)
Továbblépve nézzük meg azt, hogy van-e a transzformációnak az alapkörtől különböző invariáns köre! Egy alapkörön kívüli kör minden pontjának képe alapkörön belüli pont, és fordítva. Ebből következően, ha van az alapkörön kívül invariáns kör, akkor az metszi az alapkört.
Ha megállapodunk abban, hogy két egymást metsző kör hajlásszögén a metszéspontjaikba húzott érintőinek hajlásszögét értjük, akkor bebizonyítottuk azt a tételt, hogy az alapkörtől különböző invariáns körök merőlegesen metszik az alapkört. A megfordítás bizonyítása az előzőek alapján már triviálisnak mondható,
Ezek után kimondható a tétel, hogy egy alapkörtől különböző kör akkor és csak akkor invariáns, ha merőlegesen metszi az alapkört. (2)
Láttuk, hogy a pólusra nem illeszkedő egyenesek képe a pólusra illeszkedő (a pólustól megfosztott) kör. Értelmesnek tűnik a megfordítást megnézni. Mi a képe a pólusra illeszkedő (pólustól megfosztott) körnek.
Először vizsgáljuk azt az esetet, amikor a kör az alapkör egy sugarának Thalész-köre!
Megmutattuk, hogy a kör bármely pontjának képe a sugár végpontjába húzott érintőre illeszkedik. A geometriai inverzió szimmetrikus tulajdonsága és a korábbiak miatt igaz az is, hogy az érintő minden pontja képe egy körön levő pontnak.
Bebizonyítottuk azt a tételt, hogy az alapkör egy sugara (pólustól megfosztott) Thalész körének a képe az alapkör sugár végpontjára illeszkedő érintője. (3)
Vizsgáljunk most egy tetszőleges, az alapkör pólusára illeszkedő (pólustól megfosztott) kört!
A k1 olyan kör aminek középpontja az O pólus és kívülről érinti a k-t. A (3) szerint a k k1-re vonatkozó az e. Az azonos pólusú inverziókról bizonyítottak szerint a k ko-ra vonatkozó képe, k' középpontosan hasonló e-hez, ezért az egyenes.
Bebizonyítottuk a tételt, hogy a pólusra illeszkedő (pólustól megfosztott) körök képe egyenes. (4)
A bizonyításból az is látszik, hogy a képek merőlegesek a körök pólusra illeszkedő átmérőjére.
Már csak annak vizsgálata van hátra, hogy a pólusra nem illeszkedő, nem invariáns köröknek mi a képe.
A k1 merőlegesen metszi k-t, így erre vonatkozó inverz képe - a (2) szerint önmaga. Az azonos pólusú inverziókról bizonyítottak szerint a k ko-ra vonatkozó képe, k' középpontosan hasonló k-hoz, ezért a póluson át nem menő kör,
Összefoglalva:
- A póluson átmenő (pólustól megfosztott) kör képe a póluson át nem menő egyenes.
- A póluson át nem menő kör képe póluson át nem menő kör.