８．分数関数と無理関数
このページは電子ブック「探求 数学Ⅲ」の一部です。
１．多項式以外の関数
＜合成関数＞関数を入れ子にすることを関数の合成という。
関数ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）があるときｆ（ｇ（ｘ））の入れ子は、ｇを先にしてその値にｆをする。
しかし、書式としてはｆ・ｇ（ｘ）＝ｆ（ｇ（ｘ））のように、先にｆを書くので注意。
＜分数関数＞
ｙ＝多項式ｆ(x)÷多項式ｇ(x)＝ と分数関数・有理関数[rational function]という。
漸近線ｘ＝０，ｙ＝０の交点である原点（０，０）を（ｐ，ｑ）に移動するように
関数のグラフを平行移動すると、関数の式は規則的に変わる。
ｙ＝k/xはy=k/(x-p)+ｑとなる。
分母・分子が２次以上の分数関数は
因数分解・両方をｘで割る・分子を分母で割って帯分数形にする・部分分数に分解する・２乗の差
などを利用して、式の単純化や次数下げをしよう。
（例）
「ｆ(x)=(-3x+2)/(x-2), g(x)=(x-1)/(x+2),
x1=-3, xn+1=f(xn)のとき、an=g(xn)の一般項」は？
an+1=g(xn+1)=g(f(xn))だから、g(f(x))=k(x)g(x)のようなk(x)を見つけたい。
g(f(x))=(f(x)-1)/(f(x)+2)=((-3x+2)/(x-2)-1)/((-3x+2)/(x-2)+2)
=(-3x+2-(x-2))/(-3x+2+2(x-2))=(-4x+4)/(-x-2)=4(x-4)/(x+2)=4g(x)
これによって、g・ｆを４gに置き換えられる。
a1=g(x1)=g(-3)=(-4)/(-1)=4。an+1=g(xn+1)=g(f(xn))=4g(xn)=4an。
つまり、an+1=4anという等比型になる。an=4n。
＜無理関数＞
ｙ＝√（多項式）を無理関数[irrational function]という。
原点（０，０）を（ｐ，ｑ）に移動するように
関数のグラフを平行移動すると、関数の式は規則的に変わる。
ｙ＝√(kx)はy=√（k/(x-p))+ｑとなる。√の中は非負になるようにｘの定義域を限定する。
（例）
「直線ｙ＝ax-1とy=√(x-1)と異なる２点で交わる直線aの傾きの範囲」は？
ｙ＝√(x-1)はｘ>=1の定義域だから、A（１，０）がグラフの端点。
直線がAを通るとき0=a-1から傾きが１。傾きが１より増やすときに接点があるのは、
直線がy2=(ax-1)2=ax2-2ax+1=x-1。a2x2-(2a+1)+2=0の判別式D=(2a+1)2-8a2=-(4a2-4a-1)=0となる
a=a=(2±√8)/4=(1±√2)/2で接する。D＞のときはaがこの２解の間のときだから、a=1も入る。
直線の傾きaが１以上(1+√2)/2より小のとき。
＜逆関数＞
ｙ＝f（x）の逆関数[inverse]はｘからｙを出す逆だからｙからｘを出す関数になりｘ＝ｆ-1(y)。
このままだと、ｙを定義域として、ｘを値域としただけでグラフ自体は何も変化しない。
そのため、ｘとｙを入れ替えた式を作りｙについて解くとｘを定義域にした式ができる。
逆関数のグラフはｘとｙの役割が変わるように視点を変えるのでは、グラフ自体をｙ＝ｘについて
線対称移動することで、ｘとｙの役割を視点を変えずに変えられる。
任意の２つのｘ１，ｘ２について、ｘ１＜ｘ２ならば、
必ずｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２）になる場合、ｆ（ｘ）を増加関数といいます。
その逆に、ｘの大小とｆ（ｘ）の大小が逆になるものを減少関数といいます。
増加関数の逆関数を増加関数になり、減少関数の逆関数を減少関数になります。
（例）
ｙ＝exの逆関数はｙ＝logxで、両方とも増加関数です。
ｙ＝１/xの逆関数はｙ＝１/xで、減少関数です。
ｙ＝ｘ2の逆関数はｙ＝√ｘ（ｘ＞０）で両方とも増加関数。
不動のゴミもある！
２．合成関数と漸化式
＜同一関数の合成は反復＞
同一関数ｙ＝ｆ（ｘ）を入れ子にしてみよう。
ｘ→ｆ（ｘ）→ｆ（ｆ（ｘ））というように関数ｆ・ｆはｆの反復になる。
たとえば、ｙ＝ｆ（ｘ）＝１/2xとすると、
ｆ・ｆ・ｆは漸化式an+1=1/2anのとき,a1からa4を求めることと同じになるね。
（例）
「正方形の形のもちがある。もちをこねるときに、左から半分の位置でたてに折り目をつける。
その折り目の右がわを左に折りたたんで右に２倍に伸ばす。これを３回くり返す。
このとき動かない点（不動点）」はどこにある？
定義域を０以上１以下として、1/2以下のｘに対してはｙ＝２ｘとなり、それ以外のｘに対しては、
ｘ＝１/2の線で対称的な変化をするから、傾き−２で（１，０）を通る線分y=-2(x-1)＝２−２ｘとなる。
不動な点はｙ＝ｘだから、交点は２−２ｘ＝ｘからｘ＝２/3。だから、左から、２/3の位置にある
もちはまったく動かない。３回くり返しても動かない。