Posición 2. Alcanzando la base inferior
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery.
Cuando la botella está llena menos de su mitad, al ir inclinando la botella llega un momento en que el nivel del líquido alcanza la base inferior de la botella, sin alcanzar todavía la base superior. A partir de este momento el punto medio O deja de indicar su altura. En su lugar, el nivel viene determinado por un punto E, situado en la base inferior de la botella.
Tomamos pues un punto E de la base inferior y trazamos la paralela al suelo por E (es decir, el nivel del líquido), obteniendo el punto F. Sea B la intersección de la perpendicular al suelo por A' y la recta AH. Sea G el reflejo de A en H, es decir, AG = 2 AH.
Los ángulos representados en rojo, y , complementarios del ángulo de inclinación α, son iguales. Por tanto, los triángulos BA'A y EFA son semejantes:
Deseamos que E sea tal que el área del triángulo azul EFA sea igual a la del rectángulo amarillo AA'H'H. Es decir, E ha de ser tal que AE AF/2 = AA' AH. Lo que equivale a AE AF = AA' AG. Podemos reescribir esta igualdad como AF = AA' AG/AE. Como sabemos que AF verifica que AF = AA' AE/AB, ambas igualdades serán verdaderas si y solo si AG/AE = AE/AB. Es decir, cuando AE sea la media geométrica de AG y AB.
Por lo tanto, basta construir E de modo que AE sea la media geométrica de AB y AG, usando el procedimiento que ya hemos visto en la actividad anterior.
La altura alcanzada por el nivel es, entonces, EV. Recordemos que la altura inicial del líquido es h=AH y la anchura de la botella es b=A'A. Tenemos:
- AE es la media geométrica de AG y AB:
- Observando el triángulo AVE:
- Observando el triángulo A'AB: