Termita en ortoedro
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
Una termita avanza de un veértice de un ortoedro hasta su opuesto en línea recta. Si el ortoedro está compuesto por m×n×p cubos unitarios, ¿cuántos de estos cubos atravesará la termita?
Cambia de cubo cada vez que atraviesa uno de los (m-1) + (p-1) + (q-1) planos que separan los cubos, número al que debemos sumar el cubo de partida.
Pero atraviesa una arista paralela a los lados de longitud m y n (mcd(m,n) - 1) veces, por lo que hay que descontar está cantidad, así como (mcd(n,p)-1) y (mcd(mp)-1). Pero si atraviesa un vértice interior, lo que ocurre (mcd(m, n, p)-1) veces, atraviesa tres aristas. El nuevo cubo por el que pasa lo hemos contado tres veces, descontado otras tres, y por tanto debemos añadirlo una vez. En definitiva:
N=1+(m-1)+(n-1)+(p-1)-(mcd(m,n)-1)-(mcd(n,p)-1)-(mcd(p,m)-1)+(mcd(m,n,p)-1)
=m+n+p-mcd(m,n)-mcd(n,p)-mcd(p,m)+mcd(m,n,p)
Si mcd(m,n)=mcd(n,p)=mcd(p,m)=1, queda N= m+n+p-2.
En la figura, m=8, n=6 y p=4, por lo que se atraviesan 8+6+4-2-2-4+2=12 cubos.
Para un problema similar en 2 dimensiones ver La hormiga en la plaza.