Aire d'un triangle à partir des côtés
Pose du problème
On veut calculer l'aire d'un triangle à partir des longueurs de ses côtés.
Pour cela on note :
- la longueur du plus long côté du triangle
- et les longueurs des deux autres côtés.
Détermination de l'expression
La hauteur ainsi définie découpe le triangle en deux triangles rectangles dans lesquels nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore :
Nous pouvons injecter la valeur exprimée de dans l'expression de :
Soit :
Et donc :
Nous pouvons donc en déduire l'aire du triangle :
Aire d'un triangle
L'aire d'un triangle de longueurs de côtés , , est :
Discussion de la formule
Regardons cette expression :
- Elle ne change pas si on permute , et .
- : Périmètre du triangle.
- ; et : Inégalités triangulaires, ces facteurs sont forcément positifs si le triangle est possible.
Cas particulier : triangle isocèle
Nous avons , et donc l'aire du triangle peut s'écrire :
Cas particulier : triangle équilatéral
Nous avons , et donc l'aire du triangle peut s'écrire :
Cas particulier : triangle rectangle
Si est la longueur de l'hypoténuse nous avons :
Et donc :
L'aire s'exprime donc, comme attendu :