Extremwertaufgaben mal anders - Unterrichtsplanung

Thema:Extremwertaufgaben oder Extremwertprobleme

Kurzinformation

Thema: Extremwertaufgaben
11. Schulstufe, Mathematik
Dauer: 3 Einheiten
Materialien für Extremweraufgaben mal anders

Die SchülerInnen kennen bereits die Methode, Extremwertaufgaben mit Differentialrechnung zu lösen. In diesen Unterrichtseinheiten lernen die SchülerInnen eine weitere Methode kennen, mit denen Extremwertaufgaben gelöst werden können. Dabei sollen vor allem die Sätze über den Zusammenhang von Produkt und Summe von Variablen und ihrem Maximum bzw. Minimum im Fokus stehen. In der letzten Einheit schließlich wird den SchülerInnen eine Aufgabe gestellt, bei der die Verwendung dieser Sätze nicht möglich ist und die Anwendung der Differentialrechnung zu einem Ergebnis führt. Neben dem Kennenlernen von anderen Methoden, Extremwertaufgaben zu lösen, sollen in diesen Einheiten auch Erkenntnisse über die Mächtigkeit der Differentialrechnung gewonnen werden.

Vorwissen und Voraussetzungen

Die SchülerInnen ...

… können Funktionen (mit elektronischen Hilfsmitteln) ableiten und Gleichungen lösen.
... können innermathematische Beziehungen zwischen Variablen beschreiben und dadurch Nebenbedingungen aufstellen.
... wissen, wie Extremwertaufgaben mit Hilfe der Differentialrechnung gelöst werden.
… können ihre Vorgehensweise beim Auffinden von globalen Extrema begründen.
... wissen, wie Zielfunktionen verändert werden dürfen, ohne die Extremstellen zu verändern.
… können mit Ungleichungen Terme nach unten bzw. oben abschätzen.

Lernergebnisse und Kompetenzen

Die SchülerInnen ...

... können Termstrukturen erkennen und Zielfunktionen transformieren, sodass Sätze über die Dualität anwendbar sind.
... wissen, dass die Differentialrechnung nicht die einzige Methode ist, um Extremwertaufgaben zu lösen.
… können eine weitere Methode zum Lösen von Extremwertaufgaben bei bestimmten Beispielen anwenden und ihre Funktionsweise begründen.
… wissen, dass es in der Mathematik für Aufgaben oft verschiedene Lösungsmethoden gibt und deren Einsatz durch Vorgaben eingeschränkt werden kann.
… können die Mächtigkeit der Differentialrechnung erkennen.

Unterrichtsablauf

Die Unterrichtssequenz besteht aus drei Unterrichtseinheiten.

In der ersten Einheit wird eine andere Methode kennengelernt, um bestimmte Typen von Extremwertaufgaben zu lösen. Dabei wird mit den SchülerInnen die Mittelungleichung und daraus die Dualität von Summe und Produkt hergeleitet. Im Anschluss daran werden Beispiele mit der Klasse gerechnet, in denen diese Sätze angewendet werden können.
Die zweite Einheit ist im Gegensatz zur ersten Einheit deutlich schülerzentrierter. Hier sollen die SchülerInnen anhand von verschiedenen Beispielen in Partnerarbeit versuchen, Extremwertaufgaben mit der Methode der Dualität zu lösen. Im Anschluss daran sollen die Beispiele mit der Differentialrechnung überprüft und die Vorgehensweisen miteinander verglichen werden.
Die letzte Einheit widmet sich schließlich der Extremwertaufgabe "Können Hunde Mathematik?". Dazu erhalten die SchülerInnen ein Arbeitsblatt mit einer Geschichte und sollen die Zielfunktion selbst aufstellen, um die Extremwertaufgabe zu lösen. Die SchülerInnen sollen dabei erkennen, dass bei der Zielfunktion die Methode der Dualität nicht eingesetzt, aber auf die Differentialrechnung zurückgegriffen werden kann.

Alternativer Vorschlag: Die Sätze der Dualität können auch vor der Einführung der Methode der Differentialrechnung kennengelernt werden. Das Beispiel aus der dritten Einheit kann dann als Motivation dienen, die neue Methode der Differentialrechnung einzuführen und ähnliche Erkenntnisse bringen.

1. Einheit Die erste Einheit ist vorallem lehrerzentriert aufgebaut, wobei der Unterrichtsinhalt durch Fragen an die Klassen entwickelt wird. Die SchülerInnen lernen eine andere Methode für das Auffinden von globalen Extremstellen kennen. Dazu werden neue Sätze hergeleitet und auf Beispiele angewandt. Besonders bietet es sich natürlich auch an, diese Sätze auf bereits mit der Differentialgleichung gelösten Beispiele anzuwenden, um die Vorgehensweise zu vergleichen.

Herleitung der Mittelungleichung (10 Minuten)

Den SchülerInnen wird erklärt, dass eine andere Methode zum Lösen von Extremwertaufgaben kennengelernt wird. Dabei steht die Bedeutung von

und

und die Abschätzung von Termen nach oben bzw. unten im Vordergrund. In dieser ersten Sequenz soll zunächst mit Hilfe der binomischen Formel die Mittelungleichung

für zwei nicht negative Variablen mit Gleichheit genau dann, wenn

, hergeleitet werden. Im Anschluss daran soll die Formel für mehrere Variablen begründet werden. Der Lehrperson steht dabei das Material Herleitung der Mittelungleichung zur Verfügung. Die SchülerInnen können die Herleitung in ihr Heft übertragen oder eine Kopie von der Lehrperson bekommen, nachdem die Ungleichung mit ihnen hergeleitet wurde. Weitere Hinweise befinden sich direkt im Material.

Sätze der Dualität (20 Minuten)

Die in der ersten Sequenz hergeleitete Mittelungleichung wird nun verwendet, um Extremwerte von Funktionen unter bestimmten Nebenbedingungen zu begründen, indem die folgenden zwei Sätze hergeleitet werden:

Seien zwei Variablen, wobei die Summe von und konstant ist, also . Dann ist das Produkt von und genau dann maximal, wenn gilt .
Seien zwei Variablen, wobei das Produkt von und konstant ist, also . Dann ist die Summe von und genau dann minimal, wenn gilt .

Auch hier soll wieder im Anschluss auf Fälle mit mehreren Variablen geschlossen werden. Der Lehrperson steht dabei das Material Sätze der Dualität zur Verfügung. Die SchülerInnen können die Herleitung der Sätze in ihr Heft übertragen oder eine Kopie von der Lehrperson bekommen, nachdem die Sätze mit ihnen hergeleitet wurde. Weitere Hinweise befinden sich direkt im Material.

Anwendung der Sätze auf Extremwertaufgaben (20 Minuten)

Die beiden Sätze werden nun auf Beispiele angewandt und die Vorgehensweise mit den SchülerInnen auf nachvollziehbare Art besprochen. Dazu sollen zuerst die Beispiele des flächengrößten und umfangkleinsten Rechtecks mit den SchülerInnen behandelt werden. Um die Sätze der Dualität anwenden zu können, ist es ebenso wichtig, mit den SchülerInnen zu wiederholen, wie eine Zielfunktion verändert werden darf, ohne die Extremstelle dabei zu verändern. (Multiplikation mit positiver reeller Zahl, Addition/Subtraktion von Konstanten, Wurzelziehen/Potenzieren). Die SchülerInnen sollen bei einem weiteren Beispiel erkennen, dass die Sätze nicht unmittelbar anwendbar sind, jedoch die Zielfunktionen, ohne die Extremstelle zu verändern, modifiziert werden können, um die Sätze anwendbar zu machen. Die ersten beiden der ausgewählten Beispiele sind bereits durch das Lösen mit Differentialrechnung bekannt, somit kann gezeigt werden, dass man auf die selben Lösungen mit der neuen Methode kommt. Das letzte Beispiel über die Tragkraft eines Baumstammes stellt ein neues Beispiel für die Schüler dar. Der Lehrperson steht dabei unter anderem das Material Anwendung der Sätze der Dualität zur Verfügung. Den SchülerInnen kann auch an dieser Stelle eine Kopie für die Angaben für die Beispiele ausgeteilt werden. Weitere Hinweise befinden sich direkt im Material.

2. Einheit Diese Einheit ist im Gegensatz zur ersten Einheit schülerzentriert und soll zur Übung und Vertiefung der Methoden aus der ersten Einheit dienen. Die SchülerInnen sollen dabei neue Extremwertaufgaben mit der neuen Methode in Partnerarbeit lösen und die Ergebnisse anschließend mit Differentialgleichung überprüfen. Den SchülerInnen wird dabei das Aufgabenblatt ausgeteilt. Auf diesem befinden sich vier Beispiele, von denen sie die ersten drei berechnen sollen, wobei zwei davon in dieser Einheit und das andere als Hausübung gemacht werden soll, das vierte dient als Zusatzbeispiel, das besonders herausfordernd ist. Dies soll den SchülerInnen bereits im Vorhinein erklärt werden.

Partnerarbeit - 1. Durchgang (25 Minuten)

Die SchülerInnen bekommen die Möglichkeit, verschiedene Beispiele mit den kennengelernten Methoden zu lösen. Hierbei handelt es sich um Beispiele, die sie noch nicht mit Differentialrechnung gelöst haben.

Partnerarbeit - 2. Durchgang (25 Minuten)

Im zweiten Teil der Einheit sollen die SchülerInnen ihre gelösten Aufgaben mit Differentialrechnung überprüfen und die Lösungen vergleichen. Gleichzeitig sollen sie dokumentieren, welche Unterschiede bzw. Gemeinsamkeiten sie in der Vorgehensweise erkennen. Dadurch wird auch das Lösen von Extremwertaufgaben mit Differentialrechnung geübt und die Methoden werden miteinander verglichen.

Sicherung / Hausübung

Die restlichen Aufgaben (bis auf die letze, diese ist keine Pflicht, kann aber evtl. als Zusatzhausaufgabe für ein Plus bearbeitet werden) sollen als Hausübung gerechnet und ebenfalls mit Differentialrechnung überprüft werden. Außerdem soll jeder Lernende nochmals die Methoden miteinander vergleichen und sich Vor- und Nachteile der Methoden nach eigener Einschätzung zu notieren.

3. Einheit In der letzten Einheit sollen die Erkenntnisse aus der neuen Methode sowie Vor- und Nachteile gesammelt werden. Hierbei soll zum Abschluss des Themas Extremwertaufgaben die Aufgabe "Können Hunde Mathematik?" bearbeitet werden. Die SchülerInnen sollen dadurch erkennen, dass es Beispiele gibt, bei denen gewisse Methoden auf ihre Grenzen stoßen und nicht angewandt werden können. Die Aufgabe kann jedoch mit Hilfe der Differentialrechnung gelöst werden.

Wiederholung (5min)

Die Ergebnisse und Erfahrungen aus der letzten Einheit und der Hausübung werden wiederholt, verglichen und gesammelt.

Können Hunde Mathematik? (40 min)

Den SchülerInnen wird das Arbeitsblatt Können Hunde Mathematik? ausgeteilt, das sie alleine oder zu zweit bearbeiten sollen, um herauszufinden, ob Tims Hund Elvis wirklich Mathematik kann. Dazu wird den SchülerInnen eine Anleitung gegeben, welche Schritte sie nacheinander erarbeiten sollen, um dies herauszufinden. Einer der Arbeitsaufträge des Arbeitsblattes stellt die Überprüfung dar, ob die neue kennengelernte Methode auch hier angewandt werden kann. Dadurch soll erkannt werden, dass es nicht immer möglich ist, Zielfunktionen auf gewünschte Weise zu transformieren. Für die alternative Bearbeitung mit Hilfe der Differentialrechnung sollen die SchülerInnen Technologie verwenden, da dadurch der Schwerpunkt der Aufgabe auf die Beurteilung der Lösungsmethoden gelegt und das Operieren (Berechnung der Ableitung) auf die Technologie ausgelagert werden kann.

Erkenntnisgewinn (5 min)

In den letzten Minuten der Unterrichtssequenz wird das Thema Extremwertaufgaben abgeschlossen. Dabei sollen die Ergebnisse in der Klasse diskutiert werden sowie Erfahrungen über die Methoden ausgetauscht werden.

Überprüfen des Lernerfolges

In der zweiten Einheit erarbeiten die SchülerInnen Extremwertaufgaben mit den neu kennengelernten Methoden. Die Lehrperson steht dabei als Ansprechperson zur Verfügung, kann sich Rückmeldung von den SchülerInnen einholen, wie es ihnen dabei geht, und den Lernerfolg dabei überprüfen. Nach der Unterrichtssequenz bzw. der zweiten Einheit bereits kann auch die Kontrolle der Hausübungen zur Überprüfung des Lernerfolgs dienen.

Links zu Materialien

Materialien für die 1. Einheit Herleitung der Mittelungleichung Sätze der Dualität Anwendung der Sätze der Dualität Materialien für die 2. Einheit: Aufgabenblatt und Lösungen Materialien für die 3. Einheit: Können Hunde Mathematik? und Lösungen Alle Materialien befinden sich auch im GeoGebra Buch: Materialien Extremwertaufgaben Zudem kann auf die Word-Dateien im Google Drive Ordner Materialien Extremwertaufgaben zurückgegriffen werden.

Quellen

Humenberger, Hans: Das Quadrat als optimales Rechteck. Optimieren als fundamentale Idee erfahren, In: Mathematik lehren: Maximal, minimal, optimal (159, 2010), S. 44-50. Humenberger, Hans: Die zweite Ableitung bei Extremwertaufgaben. Ein hartnäckiges, schulübliches Ritual, In: Der Mathematikunterricht: Optimieren (1, 2015), S. 39-56. Malle, Günther: Extremwertaufgaben mit Differentialrechnung, In: Mathematik lehren: Maximal, minimal, optimal (159, 2010), S. 56-59. Hußmann, Stephan & Leuders, Timo: Können Hunde Mathematik?. Wie Schüler einem vierbeinigen Optimierer auf die Schliche kommen, In: Praxis der Mathematik in der Schule (14, 2007), S. 23-29. Weitere Zeitschriftenartikel für Interessierte: Vogel, Dankwart: Maximal, minimal, optimal, …, In: Mathematik lehren: Maximal, minimal, optimal (159, 2010), S. 4-13. Förster, Frank & Henn, Hans-Wolfgang: "Ich suche das Paket, in das am meisten geht!". Ein Extremwertproblem aus dem Alltag, In: Mathematik lehren: Maximal, minimal, optimal (159, 2010), S. 21-26. Hußmann, Stephan: gut - besser - am besten. Optimieren ist überall, In: Praxis der Mathematik in der Schule (14, 2007), S. 1-6. Stellfeldt, Christian: Die optimale Eistüte. Optimierung mit Excel und Co. in der Sekundarstufe I, In: Praxis der Mathematik in der Schule: Tabellenkalkulation. Einsteigen bitte! (43, 2012), S. 22-25.