Zoom infinito-Triángulo de Sierpinski

• Para realizar la construcción, aprovecharemos que el triángulo de Sierpinski es autosemejante. Concretamente, al hacer homotecia de razón de semejanza 2 con centro en cualquiera de los tres vértices del triángulo exterior y recortar, se obtiene exactamente la misma figura.
• Como no podemos reproducir el proceso infinito de creación de la figura, se ha creado usando solo las primeras iteraciones; 7 en este caso.
• Pulsando el botón "Generar", podemos ver el proceso de creación y las primeras iteraciones. Fijémonos en que se basa en tener un conjunto de vértices sobre los cuales construiremos triángulos, todos iguales. En cada iteración, calculamos los nuevos vértices dividiendo a la mitad los lados de los triángulos que ya teníamos. La longitud de los lados de los nuevos triángulos también será la mitad.
• Una vez construidas esas primeras iteraciones del fractal, podemos ir aplicándole sucesivamente homotecias con centro en cualquiera de los extremos, aumentando la razón progresivamente hasta llegar a 2.
• En ese momento, volvemos a tener la figura inicial, con lo que podemos volver a la situación de partida, con razón de semejanza 1.
• Si hay suficientes vértices, el cambio no debería notarse, y podremos repetir el proceso.

• Necesitamos una lista, que denominaremos verticesIteraciones, con los vértices en los que situaremos los triángulos.
• Mediremos el desarrollo de esta animación mediante un deslizador animación, entre 0 y 1, que medirá el porcentaje que llevamos desarrollado.
• Podemos crear la animación combinando dos comandos, Homotecia y Poligonal, para unir los puntos. Para los triángulos, utilizaremos una poligonal en lugar de un polígono, para ahorrar el tiempo de computación de rellenar los triángulos. Considerar que para triángulos muy pequeños, la diferencia será mínima.
• Utilizaremos el valor de la variable animacion para controlar el valor del factor de homotecia, que tendrá que ser entre 1 y 2.
• Elegiremos como centro de la Homotecia, cualquiera de los tres posibles extremos, y lo denominamos PExtremo. Con algunas modificaciones, podemos centrar la homotecia en el punto medio de ambos extremos.
• Usando un incremento lineal, 1+animacion, da la sensación de que la velocidad no es uniforme. Podemos modificarlo elevando la variable animacion a otro valor, que en este caso denominaremos velAnima, y le hemos dado el valor 1.3.
• Para calcular la longitud de los lados del triángulo en cada iteración, consideramos que en cada paso se va dividiendo a la mitad, con lo que si los vértices iniciales son A, B y C, para la iteración número numIt podemos definir los vectores

vIteracion1 = 1 / 2^numIt Vector(A,B) vIteracion1 = 1 / 2^numIt Vector(A,C)

triangulosIteracion = Homotecia(Zip(Poligonal({V, V + vIteracion1, V + vIteracion2, V}), V, verticesIteraciones), 1 + animacion^velAnima, PExtremo)

• Identificaremos cada triángulo con uno de sus vértices (así habrá que almacenar menos datos).
• A partir de cada triángulo, definimos tres nuevos triángulos, cuyos lados miden la mitad del anterior y los vértices están situados en: Un vértice del triángulo inicial. Punto medio de cada uno de los lados que parten de ese vértice.

vTriangulo1 = Vector(TrianguloA, TrianguloB) vTriangulo2 = Vector(TrianguloA, TrianguloC)

• Partimos de un primer triángulo, que iremos dividiendo. Como solo utilizaremos un vértice de los triángulos, el elemento inicial será una lista con un único punto TrianguloA. Definimos la lista vertices0 = {TrianguloA}.
• A partir de aquí, utilizaremos un proceso de inducción, que como sabemos, consiste en calcular el nuevo paso aplicando siempre las mismas normas al resultado del paso anterior. En este caso, calcular los nuevos triángulos tal y como se ha descrito antes.
• Lo más cómodo es utilizar el comando Zip, que nos permite iterar sobre todos los elementos de una lista, ejecutando cierta acción sobre ellos (en este caso, obtener los nuevos vértices), y luego juntar todas estas pequeñas listas en una sola, utilizando el comando Encadena.
• Así, obtendríamos las listas

  vertices1 = {TrianguloA, TrianguloA + 1 / 2 vTriangulo1, TrianguloA + 1 / 2 vTriangulo2} vertices2 = Encadena(Zip({V, V + 1 / 4 vTriangulo1, V + 1 / 4 vTriangulo2}, V, vertices1)) vertices3 = Encadena(Zip({V, V + 1 / 8 vTriangulo1, V + 1 / 8 vTriangulo2}, V, vertices2)) vertices4 = Encadena(Zip({V, V + 1 / 16 vTriangulo1, V + 1 / 16 vTriangulo2}, V, vertices3)) ...

  Podríamos continuar así, hasta tener tantas iteraciones como queramos, hasta tener la lista final verticesIteraciones, que es la que utilizaremos para crear el efecto zoom infinito.

vIteracion1 = 1 / 2^numIt vTriangulo1 vIteracion2 = 1 / 2^numIt vTriangulo2

Valor(numIt,numIt+1) Valor(verticesIteraciones , Encadena(Zip({V, V + vIteracion1, V + vIteracion2}, V, verticesIteraciones)))