A cosa servono le funzioni?
- Autore:
- Ilic Ferretti
- Argomento:
- Funzioni
Come abbiamo visto le funzioni matematiche sono dei particolari tipi di relazioni, che dato un valore di input permettono di calcolare un risultato o output. La particolarità delle funzioni consiste appunto nel fatto che per ogni valore di partenza garantiscono l'unicità di questo risultato, che quindi non è ambiguo.
Prima di proseguire nello studio delle loro caratteristiche, in questo paragrafo cercheremo di capire cosa servono: presenteremo brevemente vari esempi di situazioni in cui conoscendo una funzione possiamo risolvere un problema e/o di ottenere importanti informazioni.
NOTA: lo scopo è quello di osservare questi esempi e farci un'idea dei vari aspetti che approfondiremo nei capitoli successivi, non di capirli in pieno ed ancora meno saperli risolvere, cosa che impareremo a fare un po' alla volta.
CALCOLARE DELLE GRANDEZZE IN DETERMINATE CONDIZIONI
Possiamo vedere una funzione come una formula che ci permette di calcolare un risultato corrispondente ad un dato di partenza. Una delle sue applicazioni più immediate è quindi quella di permetterci di calcolare determinati valori che ci servono nella risoluzione di un problema. Vediamo il seguente esempio.
ESEMPIO 1: Un tunnel è costruito con due pareti alte 5 metri ed un tetto dal profilo ellittico, la cui parte centrale è alta sette metri. Ricava la funzione che descrive il profilo del tetto ed utilizzala per verificare se il tunnel è adeguato per il passaggio di un trasporto eccezionale largo 4 metri ed alto 6,3 metri. Considera che affinché il tunnel sia ritenuto adatto deve permettere il passaggio del trasporto con un margine in altezza di 15 almeno centimetri.
CALCOLARE RELAZIONI E FORMULARE PREVISIONI
Una funzione descrive come cambia l'output a seconda l'input di partenza; possiamo dire che descrive l'andamento della grandezza di output rispetto a quella di input. L'esempio più immediato è una funzione che calcola una certa grandezza in funzione del del tempo trascorso (andamento temporale), ma possiamo calcolarla anche partendo da una dimensione spaziale (profilo geometrico, per esempio nell'esempio precedente l'altezza del tunnel era espressa in funzione della distanza x dal centro del tunnel stesso); in generale il risultato può essere calcolato in relazione ad una grandezza qualsiasi (ad esempio l'andamento della pressione di un certo gas rispetto alla sua temperatura). Se conosciamo questo andamento possiamo allora formulare delle previsioni sui valori che assumerà la grandezza in determinate situazioni.
Molto spesso questa relazione non è nota, e si conoscono solo alcuni singoli dati, di solito perché sono stati rilevati con apposite misure. Una delle attività più utili (e più complesse) relativa alle funzioni consiste proprio nello studiare i dati a disposizione e da questi ottenere l'espressione matematica della funzione che meglio descrive il loro andamento; una volta ottenuta la si può utilizzare per formulare ipotesi su come evolverà la grandezza stessa.
ESEMPIO 2: Viene studiata una popolazione di pinguini facendo delle rilevazioni periodiche sul numero di individui. Utilizzare i dati a disposizione per ottenere l'espressione della funzione che fornisce la popolazione in funzione degli anni trascorsi , ed utilizzarla per fare una previsione della popolazione tra 12 anni.
Anni trascorsi | Popolazione |
1 | 1250 |
3 | 3250 |
8 | 17000 |
12 | ??? |
STUDIARE I DETTAGLI DELL'ANDAMENTO DI UNA GRANDEZZA
Quando si conosce l'espressione matematica di una funzione è possibile, utilizzando gli strumenti più avanzati tipici dell'analisi, studiarne e definirne le caratteristiche principali che ne descrivono il comportamento.
ESEMPIO 3: Si sa che un determinato olio fluidificante ha una viscosità che dipende dalla pressione secondo la legge:
Studia gli aspetti principali dell'andamento della viscosità in funzione della pressione.
Tramite lo studio di funzione, che impareremo a fare nel corso di analisi, otterremo un grafico approssimativo ma sufficientemente preciso della funzione, che nel nostro esempio è quello riportato sotto.
Osservando il grafico ottenuto possiamo dedurre come varia la viscosità al cambiare della pressione, ad esempio che:
- la viscosità ha un valore massimo in corrispondenza di una pressione di 1.5 atmosfere
- all'aumentare della pressione (parte destra del grafico), la viscosità si stabilizza su un valore sempre più simile ad 1 poise.
- direttamente proporzionale alle cariche coinvolte e , ovvero al raddoppiare di una delle cariche raddoppia la forza che si manifesta
- inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra le cariche, quindi se la distanza raddoppia la forza diventava un quarto dell'originale.