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Esplorando lo spazio-tempo di Minkowsky

Argomento:
Geometria

Lo spazio-tempo

Lo spazio-tempo di Minkowsky formato dall'insieme delle quaterne , chiamate eventi, dove indicano le coordinate spaziali in cui l'evento accade in un dato Sistema di Riferimento e è invece la coordinata temporale assegnata all'evento in quel SdR. Oltre che dai punti, lo spazio-tempo di Minkowsky è arricchito da una metrica, ovvero un modo di assegnare un singolo numero reale a punti, coppie di punti, (4-)vettori... Un po' come nel normale spazio euclideo si fa utilizzando la funzione "distanza", che può misurare sia la lontananza di un punto dall'origine, che la lunghezza di un segmento che — se opportunamente generalizzata — il modulo di un vettore. La metrica consueta dello spazio euclideo è costruita attraverso il teorema di Pitagora: . Quella dello spazio-tempo di Minkowsky è simile, ma ha i segni un po' cambiati: . Un altro modo per indicare il valore è . I cambi di Sistema di Riferimento nello spazio-tempo di Minkowsky (limitandosi al caso dei Sistemi di Riferimento inerziali) sono regolati dalle trasformazioni di Lorentz. Supponendo che il sistema sia in moto rispetto a a velocità lungo la direzione positiva dell'asse , queste trasformazioni prenderanno la forma: Dove è il "fattore di Lorentz" relativo alla velocità mentre . Una proprietà importantissima della metrica (quella che, essenzialmente, dà corerenza all'idea stessa di spazio-tempo) è che essa è invariante per trasformazioni di Lorentz, o Lorentz-invariante. Calcolando la "distanza" tra due eventi attraverso , si trova un valore che non dipende dal Sistema di Riferimento in cui sono state scritte le coordinate dei due eventi (a patto che sia lo stesso per entrambi gli eventi, si intende).

I diagrammi spaziotemporali

Lo spazio-tempo è un oggetto quadridimensionale. Nessuno, neanche il più grande dei fisici, può "vederlo" o immaginarlo con l'intuizione spaziale con cui ordinariamente visualizziamo gli oggetti geometrici. Per ragionare sullo spazio-tempo quadridimensionale ci sono dunque solo tre metodi: il calcolo, il ragionamento deduttivo e il metodo scientifico-sperimentale. Se però vogliamo ottenere una rappresentazione un po' più maneggevole dello spazio-tempo, che ci permetta di ragionarci anche graficamente, possiamo concentrarci su una sua versione "in miniatura", chiamata diagramma spaziotemporale. Essenzialmente, questo diagramma è una sezione bidimensionale dello spazio-tempo quadridimensionale, in cui si considerano solo gli eventi che hanno (in , e dunque anche in tutti i sistemi che traslano uniformemente rispetto a lungo l'asse ) e nulle. A livello pratico, il diagramma spaziotemporale altro non è che il consueto piano cartesiano, in cui però l'asse delle ordinate si chiama , le distanze si misurano in maniera un po' strana e un cambio di Sistema di Riferimento si rappresenta con un metodo assai bizzarro (ma molto pratico!). L'ordinaria "distanza pitagorica" diventa infatti in questo caso . Sì può subito notare che non è affatto detto che questo valore sia positivo (se , per esempio, è negativo) e questo è l'esatto motivo per cui non si considera direttamente il valore . Sotto trovi un diagramma-spazio temporale. Prova a esplorarne autonomamente il comportamento prima di rispondere alle domande che lo riguardano.

Clicca la casella di controllo "Secondo SdR" e muovi a piacere il parametro β sull'apposito cursore

Quali sono le caratteristiche della rappresentazione grafica del nuovo SdR? [Indica le tre risposte corrette]

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Controlla la mia risposta (3)

Clicca su "Valori coordinate" e "Quadrintervallo". Prova poi a spostare il punto E e a variare il valore di β.

Puoi verificare che, tenendo fisso E ma variando β, i valori delle coordinate di E nel sistema si modificano (è conseguenza diretta delle trasformazioni di Lorentz!). Se però osservi con attenzione il valore , noterai che esso non varia. È, per l'appunto, invariante per trasformazioni di Lorenz. La "teoria della relatività" si chiama così perché molte delle grandezze che in fisica classica sono considerate "assolute" si rivelano in realtà dipendenti dal Sistema di Riferimento adottato. A questa teoria è spesso associato popolarmente il motto "tutto è relativo", ma nulla potrebbe essere più lontano dal suo spirito! La relatività infatti è, da Minkowsky in poi, proprio la teoria di ciò che non è relativo — disposta a sacrificare moltissime idee intuitive (come l'apriori kantiano di uno spazio tridimensionale ed euclideo) pur di ricercare ciò che risulta indipendente dal punto di vista adottato. "Relatività" è insomma un nome fuorviante: sarebbe più appropriato chiamarla teoria dell'invarianza! Con le prossime domande scopriremo un po' meglio come funziona la metrica nel diagramma spaziotemporale ("quadrintervallo" è semplicemente il nome che la metrica prende quando è applicata a delle lunghezze).

Nascondi il secondo SdR e colloca l'evento E sull'asse ct.

Che significato ha, in questo caso, il valore ? [due risposte corrette]

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Controlla la mia risposta (3)

Colloca ora E sull'asse x.

Che significato ha ora ? [due risposte corrette]

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C
  • D
Controlla la mia risposta (3)

Metti ora E in un punto qualsiasi del piano situato nel primo quadrante, al di sopra della diagonale principale.

Che cosa rappresenta ora ? [due risposte corrette] Suggerimento: prova a mostrare il secondo sistema di riferimento e a far variare β in modo tale che uno degli assi passi da E.

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
Controlla la mia risposta (3)

Osservazione

Riguardo alla lunghezza, le considerazioni da fare sono un po' più complesse. Mentre l'intervallo di tempo di riferisce a coppie di eventi, la lunghezza è una proprietà di oggetti fisici come corpi e similari. Quando diciamo che un oggetto ha per estremi un punto A e un punto B, facciamo sempre implicitamente riferimento alle posizioni A e B nel presente. Nessuno mai direbbe che un vagone è lungo 200 m, solo perché tra l'istante in cui ha preso le coordinate di un suo estremo e quello in cui ha preso le coordinate dell'estremo opposto il treno si è spostato! Per poter misurare sensatamente la lunghezza di un oggetto in un dato SdR, dunque, bisogna effettuare il rilevamento delle coordinate dei suoi estremi nello stesso istante. L'unica possibile eccezione è che il SdR sia comobile coll'oggetto: in tal caso, sapendo che le coordinate degli estremi non varieranno nel tempo, si può fare prima una rilevazione e poi l'altra.

Poni E sull'asse x'.

Immagina un oggetto di lunghezza propria che, nel SdR , abbia gli estremi posti al tempo in e xE (entrambi visualizzabili sull'asse blu ). Quali affermazioni sono corrette? [2 risposte esatte]

Seleziona una o più risposte corrette
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
Controlla la mia risposta (3)

Quest'ultima domanda era davvero difficile. Proviamo con qualcos'altro, prima di concludere. Clicca su "Iperboli di calibrazione".

L'insieme di tutti gli eventi situati a "distanza" dall'evento C è rappresentato nel diagramma spaziotemporale da una coppia di iperboli. È abbastanza logico: ponendo , diventa : l'equazione di due iperboli equilatere di assi e . Allo stesso modo, iperboli rappresentano tutti i luoghi dei punti a "distanza" fissata da C. Le iperboli corrispondenti a sono chiamate "iperboli di calibrazione" perché svolgono un ruolo particolarmente importante per la lettura dei diagrammi spaziotemporali. Quando si considera un sistema in moto rispetto a , infatti, le "tacchette" sugli assi e non vanno poste secondo le ordinarie distanze euclidee, bensì "ricalibrate" alla luce della metrica . Per esempio, la "tacchetta" sull'asse non andrà posta nel punto dell'asse che "visivamente" si situa a distanza 1 dall'origine, bensì nel punto di intersezione tra e l'iperbole di calibrazione! Abbiamo quasi finito. Se necessario usando un po' di fantasia, rispondi a quest'ultima domanda: che senso fisico si potrebbe dare al fatto che le iperboli di calibrazione non intersechino mai le due diagonali gialle (che, ricorderai, rappresentano la traiettoria dei raggi di luce passanti per C)?

Per concludere

Come avrai notato, le cose si sono fatte progressivamente più complicate. Questo non significa però che siano meno coerenti di prima. Basta farci l'abitudine, e non dimenticarsi mai di prestare attenzione. Noi non dobbiamo davvero imparare a "muoverci" bene nei diagrammi spaziotemporali, ma è significativo sapere che esistono e che al loro interno tutto funziona e tutto ha senso (matematico, sì, ma anche e soprattutto fisico!). La relatività è una teoria profondamente geometrica, che descrive uno spazio non-euclideo forse bizzarro, ma del tutto coerente. Non corrisponde al modo di pensare a cui l'evoluzione ci ha formati, certo, ma gli esperimenti indicano che è il nostro pensiero ingenuo a essere in torto, non questa strana geometria quadridimensionale. Chissà, magari esseri viventi che si muovano ordinariamente a velocità prossime a quelle della luce avrebbero la mente naturalmente adattata alla visualizzazione dello spazio-tempo di Minkowsky, ma si troverebbero del tutto disorientati cercando di ragionare nel nostro "normalissimo" spazio euclideo tridimensionale! Forse anche la loro matematica sarebbe speculare rispetto alla nostra: molto semplice quando applicata ai quadrivettori, da mal di testa quando utilizzata per descrivere un banale cubo tridimensionale. Qualcuno sostiene che la matematica debba per forza essere la stessa per tutte le possibili creature intelligenti, ma in fin dei conti... Perché ritenerlo? Fin tanto che le previsioni concordano, perché non pensare che possano esistere strutture matematiche del tutto diverse per descrivere la stessa realtà fisica? [Quest'idea provocatoria svolge un ruolo importante nel racconto di Ted Chiang "Story of Your Life", da cui è stato tratto di recente il film "Arrival". Nella versione cinematografica l'elemento matematico è del tutto in secondo piano, ma le pagine del racconto riescono a dare tutta la dovuta carica immaginifica a quella che è in fin dei conti una delle "grandi domande" del pensiero matematico: la matematica dev'essere per forza questa?]