* M1.I.6 L Grenzwertbildung algebraisch
Leitfrage
Kann man die Ableitung bei mit exakt berechnen?
Ausgangspunkt: Modellierung von f(x) als Potenzfunktion
Um mit den SuS die Grenzwertbildung algebraisch nachvollziehen, bietet sich ein anders als in *Phase 5: M1.I.5 L Weg(Zeit)-Funktion modellieren) ein vereinfachter quadratischer Ansatz für die
Modellierung der Weg(Zeit)-Funktion der Bewegung des Gepards in GeoGebra-MMS an.
Die SuS geben 4-5 Wertepaare (z.B. aus Phase 2: M1.I.2 L Geschwindigkeit als Änderungsrate) als Datenpunkte in GeoGebra-MMS ein sowie die Funktionsgleichung mit Parameter , zu der automatisch ein Schieberegler für den Parameter erzeugt wird. Mit diesem passen sie den Funktionsgraph möglichst gut an die Funktion an und bestimmen so .
Modellierung der Weg(Zeit)-Funktion der Bewegung des Gepards in GeoGebra-MMS an.
Die SuS geben 4-5 Wertepaare (z.B. aus Phase 2: M1.I.2 L Geschwindigkeit als Änderungsrate) als Datenpunkte in GeoGebra-MMS ein sowie die Funktionsgleichung mit Parameter , zu der automatisch ein Schieberegler für den Parameter erzeugt wird. Mit diesem passen sie den Funktionsgraph möglichst gut an die Funktion an und bestimmen so . Beispiellösung in GeoGebra-MMS
Algebraisch die momentane Geschwindigkeit bestimmen
Nun kann man optional den ermittelten Wert für den Parameter in die Funktionsgleichung einsetzen , oder man führt die Grenzwertbetrachtung mit dem Parameteransatz für die Funktionsgleichung durch.
Um die mittlere Geschwindigkeit z.B. um den Zeitpunkt zu berechnen, setzt man die Funktionsgleichung in den Differenzenquotient ein und kann den Ausdruck mit der 3. binomischen Formel vereinfachen:
Für den letzten Umformungsschritt sollte man betonen und begründen (lassen), dass man hier kürzen darf solange . Das knüpft auch an den nun folgenden Grenzprozess an.
Mit der Vereinfachung durch die Umformung lässt sich nun die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt durch einfache Grenzwertbildung (Übergang zum Differentialquotient) berechnen:
.
Abschließend kann man den so algebraisch bestimmten Wert für die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt mit dem Wert aus der numerischen Annäherung (s. Phase 3: M1.I.3 L Näherung der momentanen Geschwindigkeit) vergleichen.
Zeitbedarf
1h
Übungen
Analoge Grenzwertbetrachtungen zu anderen Zeitpunkten können Kapitel III. Ableitungsfunktion vorbereiten.
Möglich ist in dem Zusammenhang außerdem die Bestimmung der lokalen Änderungsrate z.B. an der Stelle für die Funktion .