F01 Egy szélsőérték probléma
Adjuk meg a valós számok halmazán, az alábbi hozzárendelési szabállyal értelmezett függvény minimumát!
A függvény grafikonja
A derivált felhasználásával
A matematikai analízis az emelt szintű érettségi vizsga anyaga. Meg lehet oldani a problémát középszintű eszközökkel?
Alakítsuk át a függvény hozzárendelési szabályában szereplő négyzetgyökös kifejezéseket!
.
A kapott kifejezések a koordinátageometriában a két pont távolságára emlékeztetnek. Ebből következően, legyen
A kapott kifejezések a koordinátageometriában a két pont távolságára emlékeztetnek. Ebből következően, legyen
Ennek felhasználásával a probléma így fogalmazható:
Az egyenletű egyenes mely pontjára igaz, hogy a távolságősszeg minimális?
Mozgassuk a P pontot, vizsgáljuk a távolságösszeget!
A figyelmes szemlélő észrevehette, hogy az átfogalmazással a tengelyes tükrözésnél tanult/tanított nagymama-piroska problémára jutottunk. A következő appleten meglehet nézni a szerkesztést és az abban szereplő geometriai objektumok koordinátageometriai jellemzését is.
Végezetül vegyük számba, hogy milyen koordinátageometriai eszközöket használhatunk a probléma megoldásához!